Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74467 / 77571
↖ ↑ ↗
← S 31.360673°
E 24.529724°		 ← 260.81 m → S 31.360673°
E 24.532471°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.363019°
E 24.529724°		 ← 260.80 m →
68 025 m²		 S 31.363019°
E 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568141937255859 y=0.591823577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568141937255859 × 217)
    floor (0.568141937255859 × 131072)
    floor (74467.5)     		tx = 74467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591823577880859 × 217)
    floor (0.591823577880859 × 131072)
    floor (77571.5)     		ty = 77571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74467 / 77571 ti = "17/74467/77571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74467/77571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74467 ÷ 217
    74467 ÷ 131072     		x = 0.568138122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77571 ÷ 217
    77571 ÷ 131072     		y = 0.591819763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568138122558594 × 2 - 1) × π
    0.136276245117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42812445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591819763183594 × 2 - 1) × π
    -0.183639526367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.576920586927376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42812445} λ = 0.42812445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576920586927376))-π/2
    2×atan(0.561625182339694)-π/2
    2×0.511724661986764-π/2
    1.02344932397353-1.57079632675     		φ = -0.54734700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42812445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.529724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54734700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.360673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74467 KachelY 77571 0.42812445 -0.54734700 24.529724 -31.360673
    Oben rechts KachelX + 1 74468 KachelY 77571 0.42817239 -0.54734700 24.532471 -31.360673
    Unten links KachelX 74467 KachelY + 1 77572 0.42812445 -0.54738794 24.529724 -31.363019
    Unten rechts KachelX + 1 74468 KachelY + 1 77572 0.42817239 -0.54738794 24.532471 -31.363019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54734700--0.54738794) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54734700--0.54738794) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42812445-0.42817239) × cos(-0.54734700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853908209444804 × 6371000     		do = 260.805546761885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42812445-0.42817239) × cos(-0.54738794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85388690258519 × 6371000     		du = 260.79903909852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54734700)-sin(-0.54738794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853908209444804-0.85388690258519)×R²
    abs(0.42817239-0.42812445)×2.13068596141008e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13068596141008e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13068596141008e-05×40589641000000     		ar = 68024.7334636248m²