Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74466 / 77570
↖ ↑ ↗
← S 31.358328°
E 24.526977°		 ← 260.81 m → S 31.358328°
E 24.529724°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 31.360673°
E 24.526977°		 ← 260.81 m →
68 010 m²		 S 31.360673°
E 24.529724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568134307861328 y=0.591815948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568134307861328 × 217)
    floor (0.568134307861328 × 131072)
    floor (74466.5)     		tx = 74466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591815948486328 × 217)
    floor (0.591815948486328 × 131072)
    floor (77570.5)     		ty = 77570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74466 / 77570 ti = "17/74466/77570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74466/77570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74466 ÷ 217
    74466 ÷ 131072     		x = 0.568130493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77570 ÷ 217
    77570 ÷ 131072     		y = 0.591812133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568130493164062 × 2 - 1) × π
    0.136260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42807651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591812133789062 × 2 - 1) × π
    -0.183624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.576872650027756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42807651} λ = 0.42807651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576872650027756))-π/2
    2×atan(0.561652105554987)-π/2
    2×0.511745129098085-π/2
    1.02349025819617-1.57079632675     		φ = -0.54730607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42807651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.526977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54730607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.358328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74466 KachelY 77570 0.42807651 -0.54730607 24.526977 -31.358328
    Oben rechts KachelX + 1 74467 KachelY 77570 0.42812445 -0.54730607 24.529724 -31.358328
    Unten links KachelX 74466 KachelY + 1 77571 0.42807651 -0.54734700 24.526977 -31.360673
    Unten rechts KachelX + 1 74467 KachelY + 1 77571 0.42812445 -0.54734700 24.529724 -31.360673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54730607--0.54734700) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dl = 260.765030000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54730607--0.54734700) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dr = 260.765030000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42807651-0.42812445) × cos(-0.54730607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853929509669309 × 6371000     		do = 260.812052398415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42807651-0.42812445) × cos(-0.54734700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853908209444804 × 6371000     		du = 260.805546761583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54730607)-sin(-0.54734700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853929509669309-0.853908209444804)×R²
    abs(0.42812445-0.42807651)×2.13002245056382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13002245056382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13002245056382e-05×40589641000000     		ar = 68009.8144562919m²