Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74465 / 77555
↖ ↑ ↗
← S 31.323140°
E 24.524231°		 ← 260.86 m → S 31.323140°
E 24.526977°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 31.325487°
E 24.524231°		 ← 260.85 m →
68 054 m²		 S 31.325487°
E 24.526977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568126678466797 y=0.591701507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568126678466797 × 217)
    floor (0.568126678466797 × 131072)
    floor (74465.5)     		tx = 74465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591701507568359 × 217)
    floor (0.591701507568359 × 131072)
    floor (77555.5)     		ty = 77555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74465 / 77555 ti = "17/74465/77555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74465/77555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74465 ÷ 217
    74465 ÷ 131072     		x = 0.568122863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77555 ÷ 217
    77555 ÷ 131072     		y = 0.591697692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568122863769531 × 2 - 1) × π
    0.136245727539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42802858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591697692871094 × 2 - 1) × π
    -0.183395385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.576153596533455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42802858} λ = 0.42802858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576153596533455))-π/2
    2×atan(0.562056108696596)-π/2
    2×0.512052197024834-π/2
    1.02410439404967-1.57079632675     		φ = -0.54669193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42802858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.524231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54669193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.323140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74465 KachelY 77555 0.42802858 -0.54669193 24.524231 -31.323140
    Oben rechts KachelX + 1 74466 KachelY 77555 0.42807651 -0.54669193 24.526977 -31.323140
    Unten links KachelX 74465 KachelY + 1 77556 0.42802858 -0.54673288 24.524231 -31.325487
    Unten rechts KachelX + 1 74466 KachelY + 1 77556 0.42807651 -0.54673288 24.526977 -31.325487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54669193--0.54673288) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dl = 260.892449999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54669193--0.54673288) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dr = 260.892449999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42802858-0.42807651) × cos(-0.54669193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.854248940124148 × 6371000     		do = 260.855190481818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42802858-0.42807651) × cos(-0.54673288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.85422765097042 × 6371000     		du = 260.848689582619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54669193)-sin(-0.54673288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854248940124148-0.85422765097042)×R²
    abs(0.42807651-0.42802858)×2.12891537277882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12891537277882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12891537277882e-05×40589641000000     		ar = 68054.3017315327m²