Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74464 / 62176
↖ ↑ ↗
← N  9.188870°
E 24.521484°		 ← 301.51 m → N  9.188870°
E 24.524231°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
N  9.186159°
E 24.521484°		 ← 301.51 m →
90 897 m²		 N  9.186159°
E 24.524231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568119049072266 y=0.474369049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568119049072266 × 217)
    floor (0.568119049072266 × 131072)
    floor (74464.5)     		tx = 74464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.474369049072266 × 217)
    floor (0.474369049072266 × 131072)
    floor (62176.5)     		ty = 62176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74464 / 62176 ti = "17/74464/62176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74464/62176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74464 ÷ 217
    74464 ÷ 131072     		x = 0.568115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62176 ÷ 217
    62176 ÷ 131072     		y = 0.474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.474365234375 × 2 - 1) × π
    0.05126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42798064} λ = 0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.161067982723389))-π/2
    2×atan(1.17476482981173)-π/2
    2×0.865586182151211-π/2
    1.73117236430242-1.57079632675     		φ = 0.16037604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16037604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.188870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74464 KachelY 62176 0.42798064 0.16037604 24.521484 9.188870
    Oben rechts KachelX + 1 74465 KachelY 62176 0.42802858 0.16037604 24.524231 9.188870
    Unten links KachelX 74464 KachelY + 1 62177 0.42798064 0.16032872 24.521484 9.186159
    Unten rechts KachelX + 1 74465 KachelY + 1 62177 0.42802858 0.16032872 24.524231 9.186159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16037604-0.16032872) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16037604-0.16032872) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42798064-0.42802858) × cos(0.16037604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987167303558654 × 6371000     		do = 301.506304193009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42798064-0.42802858) × cos(0.16032872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987174858957363 × 6371000     		du = 301.50861180625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16037604)-sin(0.16032872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987167303558654-0.987174858957363)×R²
    abs(0.42802858-0.42798064)×7.55539870933575e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.55539870933575e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.55539870933575e-06×40589641000000     		ar = 90897.1780027682m²