Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74463 / 77573
↖ ↑ ↗
← S 31.365364°
E 24.518738°		 ← 260.79 m → S 31.365364°
E 24.521484°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 31.367709°
E 24.518738°		 ← 260.79 m →
68 005 m²		 S 31.367709°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568111419677734 y=0.591838836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568111419677734 × 217)
    floor (0.568111419677734 × 131072)
    floor (74463.5)     		tx = 74463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591838836669922 × 217)
    floor (0.591838836669922 × 131072)
    floor (77573.5)     		ty = 77573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74463 / 77573 ti = "17/74463/77573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74463/77573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74463 ÷ 217
    74463 ÷ 131072     		x = 0.568107604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77573 ÷ 217
    77573 ÷ 131072     		y = 0.591835021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568107604980469 × 2 - 1) × π
    0.136215209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42793270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591835021972656 × 2 - 1) × π
    -0.183670043945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.577016460726616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42793270} λ = 0.42793270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577016460726616))-π/2
    2×atan(0.561571339780801)-π/2
    2×0.511683729295936-π/2
    1.02336745859187-1.57079632675     		φ = -0.54742887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42793270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.518738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54742887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.365364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74463 KachelY 77573 0.42793270 -0.54742887 24.518738 -31.365364
    Oben rechts KachelX + 1 74464 KachelY 77573 0.42798064 -0.54742887 24.521484 -31.365364
    Unten links KachelX 74463 KachelY + 1 77574 0.42793270 -0.54746980 24.518738 -31.367709
    Unten rechts KachelX + 1 74464 KachelY + 1 77574 0.42798064 -0.54746980 24.521484 -31.367709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54742887--0.54746980) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dl = 260.765030000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54742887--0.54746980) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dr = 260.765030000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42793270-0.42798064) × cos(-0.54742887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853865599499325 × 6371000     		do = 260.792532587756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42793270-0.42798064) × cos(-0.54746980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85384429498301 × 6371000     		du = 260.786025640095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54742887)-sin(-0.54746980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853865599499325-0.85384429498301)×R²
    abs(0.42798064-0.42793270)×2.13045163155456e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13045163155456e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13045163155456e-05×40589641000000     		ar = 68004.7242014912m²