Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74463 / 56361
↖ ↑ ↗
← N 24.424645°
E 24.518738°		 ← 278.09 m → N 24.424645°
E 24.521484°		 →
↑
278.09 m
↓
↑
278.09 m
↓
N 24.422144°
E 24.518738°		 ← 278.10 m →
77 337 m²		 N 24.422144°
E 24.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568111419677734 y=0.430004119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568111419677734 × 217)
    floor (0.568111419677734 × 131072)
    floor (74463.5)     		tx = 74463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430004119873047 × 217)
    floor (0.430004119873047 × 131072)
    floor (56361.5)     		ty = 56361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74463 / 56361 ti = "17/74463/56361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74463/56361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74463 ÷ 217
    74463 ÷ 131072     		x = 0.568107604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56361 ÷ 217
    56361 ÷ 131072     		y = 0.430000305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568107604980469 × 2 - 1) × π
    0.136215209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42793270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430000305175781 × 2 - 1) × π
    0.139999389648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.439821054014015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42793270} λ = 0.42793270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439821054014015))-π/2
    2×atan(1.55242939264583)-π/2
    2×0.998543396717144-π/2
    1.99708679343429-1.57079632675     		φ = 0.42629047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42793270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.518738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42629047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.424645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74463 KachelY 56361 0.42793270 0.42629047 24.518738 24.424645
    Oben rechts KachelX + 1 74464 KachelY 56361 0.42798064 0.42629047 24.521484 24.424645
    Unten links KachelX 74463 KachelY + 1 56362 0.42793270 0.42624682 24.518738 24.422144
    Unten rechts KachelX + 1 74464 KachelY + 1 56362 0.42798064 0.42624682 24.521484 24.422144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42629047-0.42624682) × R
    4.36499999999507e-05 × 6371000     		dl = 278.094149999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42629047-0.42624682) × R
    4.36499999999507e-05 × 6371000     		dr = 278.094149999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42793270-0.42798064) × cos(0.42629047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910505886920363 × 6371000     		do = 278.091934287148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42793270-0.42798064) × cos(0.42624682) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910523935157992 × 6371000     		du = 278.097446683481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42629047)-sin(0.42624682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910505886920363-0.910523935157992)×R²
    abs(0.42798064-0.42793270)×1.80482376284097e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80482376284097e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80482376284097e-05×40589641000000     		ar = 77336.5065822485m²