Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74462 / 77587
↖ ↑ ↗
← S 31.398191°
E 24.515991°		 ← 260.65 m → S 31.398191°
E 24.518738°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
S 31.400535°
E 24.515991°		 ← 260.64 m →
67 950 m²		 S 31.400535°
E 24.518738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568103790283203 y=0.591945648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568103790283203 × 217)
    floor (0.568103790283203 × 131072)
    floor (74462.5)     		tx = 74462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591945648193359 × 217)
    floor (0.591945648193359 × 131072)
    floor (77587.5)     		ty = 77587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74462 / 77587 ti = "17/74462/77587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74462/77587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74462 ÷ 217
    74462 ÷ 131072     		x = 0.568099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77587 ÷ 217
    77587 ÷ 131072     		y = 0.591941833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568099975585938 × 2 - 1) × π
    0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591941833496094 × 2 - 1) × π
    -0.183883666992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.577687577321297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42788477} λ = 0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577687577321297))-π/2
    2×atan(0.56119458637245)-π/2
    2×0.511397257661457-π/2
    1.02279451532291-1.57079632675     		φ = -0.54800181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54800181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.398191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74462 KachelY 77587 0.42788477 -0.54800181 24.515991 -31.398191
    Oben rechts KachelX + 1 74463 KachelY 77587 0.42793270 -0.54800181 24.518738 -31.398191
    Unten links KachelX 74462 KachelY + 1 77588 0.42788477 -0.54804273 24.515991 -31.400535
    Unten rechts KachelX + 1 74463 KachelY + 1 77588 0.42793270 -0.54804273 24.518738 -31.400535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54800181--0.54804273) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54800181--0.54804273) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42788477-0.42793270) × cos(-0.54800181) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853567247794721 × 6371000     		do = 260.647027527967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42788477-0.42793270) × cos(-0.54804273) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853545928468811 × 6371000     		du = 260.640517415328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54800181)-sin(-0.54804273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853567247794721-0.853545928468811)×R²
    abs(0.42793270-0.42788477)×2.13193259107625e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13193259107625e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13193259107625e-05×40589641000000     		ar = 67950.1755425709m²