Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74462 / 56362
↖ ↑ ↗
← N 24.422144°
E 24.515991°		 ← 278.04 m → N 24.422144°
E 24.518738°		 →
↑
278.09 m
↓
↑
278.09 m
↓
N 24.419643°
E 24.515991°		 ← 278.04 m →
77 322 m²		 N 24.419643°
E 24.518738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568103790283203 y=0.430011749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568103790283203 × 217)
    floor (0.568103790283203 × 131072)
    floor (74462.5)     		tx = 74462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430011749267578 × 217)
    floor (0.430011749267578 × 131072)
    floor (56362.5)     		ty = 56362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74462 / 56362 ti = "17/74462/56362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74462/56362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74462 ÷ 217
    74462 ÷ 131072     		x = 0.568099975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56362 ÷ 217
    56362 ÷ 131072     		y = 0.430007934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568099975585938 × 2 - 1) × π
    0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430007934570312 × 2 - 1) × π
    0.139984130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.439773117114395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42788477} λ = 0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439773117114395))-π/2
    2×atan(1.55235497577754)-π/2
    2×0.998521573086175-π/2
    1.99704314617235-1.57079632675     		φ = 0.42624682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42624682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.422144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74462 KachelY 56362 0.42788477 0.42624682 24.515991 24.422144
    Oben rechts KachelX + 1 74463 KachelY 56362 0.42793270 0.42624682 24.518738 24.422144
    Unten links KachelX 74462 KachelY + 1 56363 0.42788477 0.42620317 24.515991 24.419643
    Unten rechts KachelX + 1 74463 KachelY + 1 56363 0.42793270 0.42620317 24.518738 24.419643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42624682-0.42620317) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dl = 278.094150000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42624682-0.42620317) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dr = 278.094150000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42788477-0.42793270) × cos(0.42624682) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.910523935157992 × 6371000     		do = 278.039437203281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42788477-0.42793270) × cos(0.42620317) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.910541981660778 × 6371000     		du = 278.044947920006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42624682)-sin(0.42620317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910523935157992-0.910541981660778)×R²
    abs(0.42793270-0.42788477)×1.80465027865839e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.80465027865839e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.80465027865839e-05×40589641000000     		ar = 77321.907216845m²