Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74460 / 77580
↖ ↑ ↗
← S 31.381779°
E 24.510498°		 ← 260.75 m → S 31.381779°
E 24.513245°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 31.384124°
E 24.510498°		 ← 260.74 m →
67 993 m²		 S 31.384124°
E 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568088531494141 y=0.591892242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568088531494141 × 217)
    floor (0.568088531494141 × 131072)
    floor (74460.5)     		tx = 74460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591892242431641 × 217)
    floor (0.591892242431641 × 131072)
    floor (77580.5)     		ty = 77580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74460 / 77580 ti = "17/74460/77580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74460/77580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74460 ÷ 217
    74460 ÷ 131072     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77580 ÷ 217
    77580 ÷ 131072     		y = 0.591888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.18377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.577352019023956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577352019023956))-π/2
    2×atan(0.561382931470943)-π/2
    2×0.511540480964326-π/2
    1.02308096192865-1.57079632675     		φ = -0.54771536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54771536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.381779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74460 KachelY 77580 0.42778889 -0.54771536 24.510498 -31.381779
    Oben rechts KachelX + 1 74461 KachelY 77580 0.42783683 -0.54771536 24.513245 -31.381779
    Unten links KachelX 74460 KachelY + 1 77581 0.42778889 -0.54775629 24.510498 -31.384124
    Unten rechts KachelX + 1 74461 KachelY + 1 77581 0.42783683 -0.54775629 24.513245 -31.384124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54771536--0.54775629) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dl = 260.765030000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54771536--0.54775629) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dr = 260.765030000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(-0.54771536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853716448262407 × 6371000     		do = 260.746977960848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(-0.54775629) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853695133734632 × 6371000     		du = 260.74046795543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54771536)-sin(-0.54775629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853716448262407-0.853695133734632)×R²
    abs(0.42783683-0.42778889)×2.13145277746518e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13145277746518e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13145277746518e-05×40589641000000     		ar = 67992.8447490102m²