Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74460 / 77261
↖ ↑ ↗
← S 30.630822°
E 24.510498°		 ← 262.81 m → S 30.630822°
E 24.513245°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.633186°
E 24.510498°		 ← 262.80 m →
69 066 m²		 S 30.633186°
E 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568088531494141 y=0.589458465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568088531494141 × 217)
    floor (0.568088531494141 × 131072)
    floor (74460.5)     		tx = 74460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589458465576172 × 217)
    floor (0.589458465576172 × 131072)
    floor (77261.5)     		ty = 77261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74460 / 77261 ti = "17/74460/77261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74460/77261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74460 ÷ 217
    74460 ÷ 131072     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77261 ÷ 217
    77261 ÷ 131072     		y = 0.589454650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589454650878906 × 2 - 1) × π
    -0.178909301757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.562060148045158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562060148045158))-π/2
    2×atan(0.570033499946166)-π/2
    2×0.518093812978837-π/2
    1.03618762595767-1.57079632675     		φ = -0.53460870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53460870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.630822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74460 KachelY 77261 0.42778889 -0.53460870 24.510498 -30.630822
    Oben rechts KachelX + 1 74461 KachelY 77261 0.42783683 -0.53460870 24.513245 -30.630822
    Unten links KachelX 74460 KachelY + 1 77262 0.42778889 -0.53464995 24.510498 -30.633186
    Unten rechts KachelX + 1 74461 KachelY + 1 77262 0.42783683 -0.53464995 24.513245 -30.633186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53460870--0.53464995) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53460870--0.53464995) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(-0.53460870) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860468064208081 × 6371000     		do = 262.809095257253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(-0.53464995) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860447046420454 × 6371000     		du = 262.802675883914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53460870)-sin(-0.53464995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860468064208081-0.860447046420454)×R²
    abs(0.42783683-0.42778889)×2.10177876273088e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10177876273088e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10177876273088e-05×40589641000000     		ar = 69066.372259694m²