Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74460 / 56357
↖ ↑ ↗
← N 24.434647°
E 24.510498°		 ← 278.07 m → N 24.434647°
E 24.513245°		 →
↑
278.09 m
↓
↑
278.09 m
↓
N 24.432147°
E 24.510498°		 ← 278.08 m →
77 330 m²		 N 24.432147°
E 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568088531494141 y=0.429973602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568088531494141 × 217)
    floor (0.568088531494141 × 131072)
    floor (74460.5)     		tx = 74460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429973602294922 × 217)
    floor (0.429973602294922 × 131072)
    floor (56357.5)     		ty = 56357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74460 / 56357 ti = "17/74460/56357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74460/56357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74460 ÷ 217
    74460 ÷ 131072     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56357 ÷ 217
    56357 ÷ 131072     		y = 0.429969787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429969787597656 × 2 - 1) × π
    0.140060424804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.440012801612495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440012801612495))-π/2
    2×atan(1.5527270957947)-π/2
    2×0.998630686914914-π/2
    1.99726137382983-1.57079632675     		φ = 0.42646505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42646505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.434647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74460 KachelY 56357 0.42778889 0.42646505 24.510498 24.434647
    Oben rechts KachelX + 1 74461 KachelY 56357 0.42783683 0.42646505 24.513245 24.434647
    Unten links KachelX 74460 KachelY + 1 56358 0.42778889 0.42642140 24.510498 24.432147
    Unten rechts KachelX + 1 74461 KachelY + 1 56358 0.42783683 0.42642140 24.513245 24.432147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42646505-0.42642140) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dl = 278.094150000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42646505-0.42642140) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dr = 278.094150000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(0.42646505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910433684895222 × 6371000     		do = 278.06988193019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(0.42642140) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.910451740071078 × 6371000     		du = 278.075396445636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42646505)-sin(0.42642140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910433684895222-0.910451740071078)×R²
    abs(0.42783683-0.42778889)×1.80551758566239e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80551758566239e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80551758566239e-05×40589641000000     		ar = 77330.3742455382m²