Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74460 / 55932
↖ ↑ ↗
← N 25.492868°
E 24.510498°		 ← 275.69 m → N 25.492868°
E 24.513245°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.490389°
E 24.510498°		 ← 275.69 m →
76 001 m²		 N 25.490389°
E 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568088531494141 y=0.426731109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568088531494141 × 217)
    floor (0.568088531494141 × 131072)
    floor (74460.5)     		tx = 74460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426731109619141 × 217)
    floor (0.426731109619141 × 131072)
    floor (55932.5)     		ty = 55932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74460 / 55932 ti = "17/74460/55932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74460/55932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74460 ÷ 217
    74460 ÷ 131072     		x = 0.568084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55932 ÷ 217
    55932 ÷ 131072     		y = 0.426727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568084716796875 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42778889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426727294921875 × 2 - 1) × π
    0.14654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.460385983951019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42778889} λ = 0.42778889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460385983951019))-π/2
    2×atan(1.58468553014563)-π/2
    2×1.00786540694683-π/2
    2.01573081389365-1.57079632675     		φ = 0.44493449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42778889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.510498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44493449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.492868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74460 KachelY 55932 0.42778889 0.44493449 24.510498 25.492868
    Oben rechts KachelX + 1 74461 KachelY 55932 0.42783683 0.44493449 24.513245 25.492868
    Unten links KachelX 74460 KachelY + 1 55933 0.42778889 0.44489122 24.510498 25.490389
    Unten rechts KachelX + 1 74461 KachelY + 1 55933 0.42783683 0.44489122 24.513245 25.490389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44493449-0.44489122) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dl = 275.673170000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44493449-0.44489122) × R
    4.32700000000397e-05 × 6371000     		dr = 275.673170000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(0.44493449) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902638862755047 × 6371000     		do = 275.689142609857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42778889-0.42783683) × cos(0.44489122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902657485263923 × 6371000     		du = 275.694830403411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44493449)-sin(0.44489122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902638862755047-0.902657485263923)×R²
    abs(0.42783683-0.42778889)×1.86225088765202e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86225088765202e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86225088765202e-05×40589641000000     		ar = 76000.8838757156m²