Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74459 / 77526
↖ ↑ ↗
← S 31.255074°
E 24.507752°		 ← 261.04 m → S 31.255074°
E 24.510498°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
S 31.257422°
E 24.507752°		 ← 261.04 m →
68 153 m²		 S 31.257422°
E 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568080902099609 y=0.591480255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568080902099609 × 217)
    floor (0.568080902099609 × 131072)
    floor (74459.5)     		tx = 74459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591480255126953 × 217)
    floor (0.591480255126953 × 131072)
    floor (77526.5)     		ty = 77526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74459 / 77526 ti = "17/74459/77526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74459/77526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74459 ÷ 217
    74459 ÷ 131072     		x = 0.568077087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77526 ÷ 217
    77526 ÷ 131072     		y = 0.591476440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568077087402344 × 2 - 1) × π
    0.136154174804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42774096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591476440429688 × 2 - 1) × π
    -0.182952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.574763426444473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42774096} λ = 0.42774096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574763426444473))-π/2
    2×atan(0.562838005646188)-π/2
    2×0.512646187159121-π/2
    1.02529237431824-1.57079632675     		φ = -0.54550395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42774096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.507752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54550395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.255074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74459 KachelY 77526 0.42774096 -0.54550395 24.507752 -31.255074
    Oben rechts KachelX + 1 74460 KachelY 77526 0.42778889 -0.54550395 24.510498 -31.255074
    Unten links KachelX 74459 KachelY + 1 77527 0.42774096 -0.54554493 24.507752 -31.257422
    Unten rechts KachelX + 1 74460 KachelY + 1 77527 0.42778889 -0.54554493 24.510498 -31.257422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54550395--0.54554493) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dl = 261.083580000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54550395--0.54554493) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dr = 261.083580000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42774096-0.42778889) × cos(-0.54550395) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854865925408423 × 6371000     		do = 261.043594360402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42774096-0.42778889) × cos(-0.54554493) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854844662259986 × 6371000     		du = 261.037101402231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54550395)-sin(-0.54554493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854865925408423-0.854844662259986)×R²
    abs(0.42778889-0.42774096)×2.12631484369785e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12631484369785e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12631484369785e-05×40589641000000     		ar = 68153.3485591017m²