Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74459 / 53369
↖ ↑ ↗
← N 31.669746°
E 24.507752°		 ← 259.89 m → N 31.669746°
E 24.510498°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
N 31.667408°
E 24.507752°		 ← 259.90 m →
67 556 m²		 N 31.667408°
E 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568080902099609 y=0.407176971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568080902099609 × 217)
    floor (0.568080902099609 × 131072)
    floor (74459.5)     		tx = 74459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407176971435547 × 217)
    floor (0.407176971435547 × 131072)
    floor (53369.5)     		ty = 53369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74459 / 53369 ti = "17/74459/53369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74459/53369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74459 ÷ 217
    74459 ÷ 131072     		x = 0.568077087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53369 ÷ 217
    53369 ÷ 131072     		y = 0.407173156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568077087402344 × 2 - 1) × π
    0.136154174804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42774096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407173156738281 × 2 - 1) × π
    0.185653686523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.583248257677223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42774096} λ = 0.42774096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583248257677223))-π/2
    2×atan(1.79184937640964)-π/2
    2×1.06176883327128-π/2
    2.12353766654255-1.57079632675     		φ = 0.55274134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42774096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.507752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55274134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.669746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74459 KachelY 53369 0.42774096 0.55274134 24.507752 31.669746
    Oben rechts KachelX + 1 74460 KachelY 53369 0.42778889 0.55274134 24.510498 31.669746
    Unten links KachelX 74459 KachelY + 1 53370 0.42774096 0.55270054 24.507752 31.667408
    Unten rechts KachelX + 1 74460 KachelY + 1 53370 0.42778889 0.55270054 24.510498 31.667408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55274134-0.55270054) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dl = 259.936799999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55274134-0.55270054) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dr = 259.936799999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42774096-0.42778889) × cos(0.55274134) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851088457110557 × 6371000     		do = 259.890098972706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42774096-0.42778889) × cos(0.55270054) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851109877312894 × 6371000     		du = 259.896639889174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55274134)-sin(0.55270054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851088457110557-0.851109877312894)×R²
    abs(0.42778889-0.42774096)×2.14202023370857e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14202023370857e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14202023370857e-05×40589641000000     		ar = 67555.8508002756m²