Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74458 / 78266
↖ ↑ ↗
← S 32.976412°
E 24.505005°		 ← 256.22 m → S 32.976412°
E 24.507752°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
S 32.978716°
E 24.505005°		 ← 256.21 m →
65 637 m²		 S 32.978716°
E 24.507752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568073272705078 y=0.597126007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568073272705078 × 217)
    floor (0.568073272705078 × 131072)
    floor (74458.5)     		tx = 74458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597126007080078 × 217)
    floor (0.597126007080078 × 131072)
    floor (78266.5)     		ty = 78266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74458 / 78266 ti = "17/74458/78266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74458/78266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74458 ÷ 217
    74458 ÷ 131072     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78266 ÷ 217
    78266 ÷ 131072     		y = 0.597122192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597122192382812 × 2 - 1) × π
    -0.194244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.610236732163315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610236732163315))-π/2
    2×atan(0.54322225567189)-π/2
    2×0.497624680234196-π/2
    0.995249360468392-1.57079632675     		φ = -0.57554697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57554697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.976412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74458 KachelY 78266 0.42769302 -0.57554697 24.505005 -32.976412
    Oben rechts KachelX + 1 74459 KachelY 78266 0.42774096 -0.57554697 24.507752 -32.976412
    Unten links KachelX 74458 KachelY + 1 78267 0.42769302 -0.57558718 24.505005 -32.978716
    Unten rechts KachelX + 1 74459 KachelY + 1 78267 0.42774096 -0.57558718 24.507752 -32.978716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57554697--0.57558718) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dl = 256.177909999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57554697--0.57558718) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dr = 256.177909999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.57554697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838894715586855 × 6371000     		do = 256.220039290333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.57558718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838872828858106 × 6371000     		du = 256.213354520009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57554697)-sin(-0.57558718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838894715586855-0.838872828858106)×R²
    abs(0.42774096-0.42769302)×2.18867287496982e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18867287496982e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18867287496982e-05×40589641000000     		ar = 65637.0579290109m²