Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74458 / 77594
↖ ↑ ↗
← S 31.414600°
E 24.505005°		 ← 260.66 m → S 31.414600°
E 24.507752°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
S 31.416944°
E 24.505005°		 ← 260.65 m →
67 936 m²		 S 31.416944°
E 24.507752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568073272705078 y=0.591999053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568073272705078 × 217)
    floor (0.568073272705078 × 131072)
    floor (74458.5)     		tx = 74458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591999053955078 × 217)
    floor (0.591999053955078 × 131072)
    floor (77594.5)     		ty = 77594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74458 / 77594 ti = "17/74458/77594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74458/77594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74458 ÷ 217
    74458 ÷ 131072     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77594 ÷ 217
    77594 ÷ 131072     		y = 0.591995239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591995239257812 × 2 - 1) × π
    -0.183990478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.578023135618637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578023135618637))-π/2
    2×atan(0.561006304464115)-π/2
    2×0.511254059394705-π/2
    1.02250811878941-1.57079632675     		φ = -0.54828821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54828821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.414600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74458 KachelY 77594 0.42769302 -0.54828821 24.505005 -31.414600
    Oben rechts KachelX + 1 74459 KachelY 77594 0.42774096 -0.54828821 24.507752 -31.414600
    Unten links KachelX 74458 KachelY + 1 77595 0.42769302 -0.54832912 24.505005 -31.416944
    Unten rechts KachelX + 1 74459 KachelY + 1 77595 0.42774096 -0.54832912 24.507752 -31.416944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54828821--0.54832912) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dl = 260.637609999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54828821--0.54832912) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dr = 260.637609999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.54828821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853418003350126 × 6371000     		do = 260.655825202666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.54832912) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853396679234464 × 6371000     		du = 260.64931226886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54828821)-sin(-0.54832912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853418003350126-0.853396679234464)×R²
    abs(0.42774096-0.42769302)×2.13241156620247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13241156620247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13241156620247e-05×40589641000000     		ar = 67935.8625650575m²