Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74458 / 77586
↖ ↑ ↗
← S 31.395846°
E 24.505005°		 ← 260.71 m → S 31.395846°
E 24.507752°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
S 31.398191°
E 24.505005°		 ← 260.70 m →
67 966 m²		 S 31.398191°
E 24.507752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568073272705078 y=0.591938018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568073272705078 × 217)
    floor (0.568073272705078 × 131072)
    floor (74458.5)     		tx = 74458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591938018798828 × 217)
    floor (0.591938018798828 × 131072)
    floor (77586.5)     		ty = 77586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74458 / 77586 ti = "17/74458/77586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74458/77586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74458 ÷ 217
    74458 ÷ 131072     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77586 ÷ 217
    77586 ÷ 131072     		y = 0.591934204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591934204101562 × 2 - 1) × π
    -0.183868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.577639640421677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577639640421677))-π/2
    2×atan(0.561221488945812)-π/2
    2×0.511417716600644-π/2
    1.02283543320129-1.57079632675     		φ = -0.54796089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54796089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.395846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74458 KachelY 77586 0.42769302 -0.54796089 24.505005 -31.395846
    Oben rechts KachelX + 1 74459 KachelY 77586 0.42774096 -0.54796089 24.507752 -31.395846
    Unten links KachelX 74458 KachelY + 1 77587 0.42769302 -0.54800181 24.505005 -31.398191
    Unten rechts KachelX + 1 74459 KachelY + 1 77587 0.42774096 -0.54800181 24.507752 -31.398191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54796089--0.54800181) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54796089--0.54800181) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.54796089) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85358856569138 × 6371000     		do = 260.707919331959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.54800181) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853567247794721 × 6371000     		du = 260.701408297597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54796089)-sin(-0.54800181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85358856569138-0.853567247794721)×R²
    abs(0.42774096-0.42769302)×2.13178966581573e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13178966581573e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13178966581573e-05×40589641000000     		ar = 67966.0499962141m²