Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74458 / 77527
↖ ↑ ↗
← S 31.257422°
E 24.505005°		 ← 261.09 m → S 31.257422°
E 24.507752°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
S 31.259770°
E 24.505005°		 ← 261.09 m →
68 166 m²		 S 31.259770°
E 24.507752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568073272705078 y=0.591487884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568073272705078 × 217)
    floor (0.568073272705078 × 131072)
    floor (74458.5)     		tx = 74458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591487884521484 × 217)
    floor (0.591487884521484 × 131072)
    floor (77527.5)     		ty = 77527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74458 / 77527 ti = "17/74458/77527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74458/77527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74458 ÷ 217
    74458 ÷ 131072     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77527 ÷ 217
    77527 ÷ 131072     		y = 0.591484069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591484069824219 × 2 - 1) × π
    -0.182968139648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.574811363344093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574811363344093))-π/2
    2×atan(0.562811025583885)-π/2
    2×0.51262569760294-π/2
    1.02525139520588-1.57079632675     		φ = -0.54554493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54554493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.257422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74458 KachelY 77527 0.42769302 -0.54554493 24.505005 -31.257422
    Oben rechts KachelX + 1 74459 KachelY 77527 0.42774096 -0.54554493 24.507752 -31.257422
    Unten links KachelX 74458 KachelY + 1 77528 0.42769302 -0.54558591 24.505005 -31.259770
    Unten rechts KachelX + 1 74459 KachelY + 1 77528 0.42774096 -0.54558591 24.507752 -31.259770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54554493--0.54558591) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dl = 261.083579999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54554493--0.54558591) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dr = 261.083579999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.54554493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854844662259986 × 6371000     		do = 261.091563555937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(-0.54558591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854823397675957 × 6371000     		du = 261.085068804624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54554493)-sin(-0.54558591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854844662259986-0.854823397675957)×R²
    abs(0.42774096-0.42769302)×2.12645840291792e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12645840291792e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12645840291792e-05×40589641000000     		ar = 68165.8722940054m²