Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74458 / 53370
↖ ↑ ↗
← N 31.667408°
E 24.505005°		 ← 259.95 m → N 31.667408°
E 24.507752°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
N 31.665071°
E 24.505005°		 ← 259.96 m →
67 572 m²		 N 31.665071°
E 24.507752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568073272705078 y=0.407184600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568073272705078 × 217)
    floor (0.568073272705078 × 131072)
    floor (74458.5)     		tx = 74458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407184600830078 × 217)
    floor (0.407184600830078 × 131072)
    floor (53370.5)     		ty = 53370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74458 / 53370 ti = "17/74458/53370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74458/53370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74458 ÷ 217
    74458 ÷ 131072     		x = 0.568069458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53370 ÷ 217
    53370 ÷ 131072     		y = 0.407180786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568069458007812 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407180786132812 × 2 - 1) × π
    0.185638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.583200320777603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42769302} λ = 0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583200320777603))-π/2
    2×atan(1.7917634827647)-π/2
    2×1.0617484337436-π/2
    2.12349686748721-1.57079632675     		φ = 0.55270054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55270054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.667408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74458 KachelY 53370 0.42769302 0.55270054 24.505005 31.667408
    Oben rechts KachelX + 1 74459 KachelY 53370 0.42774096 0.55270054 24.507752 31.667408
    Unten links KachelX 74458 KachelY + 1 53371 0.42769302 0.55265974 24.505005 31.665071
    Unten rechts KachelX + 1 74459 KachelY + 1 53371 0.42774096 0.55265974 24.507752 31.665071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55270054-0.55265974) × R
    4.0800000000063e-05 × 6371000     		dl = 259.936800000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55270054-0.55265974) × R
    4.0800000000063e-05 × 6371000     		dr = 259.936800000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(0.55270054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851109877312894 × 6371000     		do = 259.950864099731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42769302-0.42774096) × cos(0.55265974) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85113129609844 × 6371000     		du = 259.957405948156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55270054)-sin(0.55265974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851109877312894-0.85113129609844)×R²
    abs(0.42774096-0.42769302)×2.14187855457348e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14187855457348e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14187855457348e-05×40589641000000     		ar = 67571.6460143506m²