Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74457 / 77577
↖ ↑ ↗
← S 31.374744°
E 24.502258°		 ← 260.77 m → S 31.374744°
E 24.505005°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
S 31.377089°
E 24.502258°		 ← 260.76 m →
67 981 m²		 S 31.377089°
E 24.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568065643310547 y=0.591869354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568065643310547 × 217)
    floor (0.568065643310547 × 131072)
    floor (74457.5)     		tx = 74457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591869354248047 × 217)
    floor (0.591869354248047 × 131072)
    floor (77577.5)     		ty = 77577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74457 / 77577 ti = "17/74457/77577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74457/77577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74457 ÷ 217
    74457 ÷ 131072     		x = 0.568061828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77577 ÷ 217
    77577 ÷ 131072     		y = 0.591865539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568061828613281 × 2 - 1) × π
    0.136123657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42764508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591865539550781 × 2 - 1) × π
    -0.183731079101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.577208208325096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42764508} λ = 0.42764508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577208208325096))-π/2
    2×atan(0.561463670148049)-π/2
    2×0.511601870042131-π/2
    1.02320374008426-1.57079632675     		φ = -0.54759259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42764508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.502258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54759259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.374744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74457 KachelY 77577 0.42764508 -0.54759259 24.502258 -31.374744
    Oben rechts KachelX + 1 74458 KachelY 77577 0.42769302 -0.54759259 24.505005 -31.374744
    Unten links KachelX 74457 KachelY + 1 77578 0.42764508 -0.54763351 24.502258 -31.377089
    Unten rechts KachelX + 1 74458 KachelY + 1 77578 0.42769302 -0.54763351 24.505005 -31.377089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54759259--0.54763351) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54759259--0.54763351) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42764508-0.42769302) × cos(-0.54759259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853780372851714 × 6371000     		do = 260.76650217554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42764508-0.42769302) × cos(-0.54763351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853759067820634 × 6371000     		du = 260.759995070656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54759259)-sin(-0.54763351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853780372851714-0.853759067820634)×R²
    abs(0.42769302-0.42764508)×2.13050310799989e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13050310799989e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13050310799989e-05×40589641000000     		ar = 67981.3231330504m²