Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74457 / 53467
↖ ↑ ↗
← N 31.440381°
E 24.502258°		 ← 260.58 m → N 31.440381°
E 24.505005°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
N 31.438037°
E 24.502258°		 ← 260.59 m →
67 902 m²		 N 31.438037°
E 24.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568065643310547 y=0.407924652099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568065643310547 × 217)
    floor (0.568065643310547 × 131072)
    floor (74457.5)     		tx = 74457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407924652099609 × 217)
    floor (0.407924652099609 × 131072)
    floor (53467.5)     		ty = 53467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74457 / 53467 ti = "17/74457/53467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74457/53467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74457 ÷ 217
    74457 ÷ 131072     		x = 0.568061828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53467 ÷ 217
    53467 ÷ 131072     		y = 0.407920837402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568061828613281 × 2 - 1) × π
    0.136123657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42764508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407920837402344 × 2 - 1) × π
    0.184158325195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.578550441514458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42764508} λ = 0.42764508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578550441514458))-π/2
    2×atan(1.7834513391106)-π/2
    2×1.05976724264705-π/2
    2.1195344852941-1.57079632675     		φ = 0.54873816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42764508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.502258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54873816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.440381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74457 KachelY 53467 0.42764508 0.54873816 24.502258 31.440381
    Oben rechts KachelX + 1 74458 KachelY 53467 0.42769302 0.54873816 24.505005 31.440381
    Unten links KachelX 74457 KachelY + 1 53468 0.42764508 0.54869726 24.502258 31.438037
    Unten rechts KachelX + 1 74458 KachelY + 1 53468 0.42769302 0.54869726 24.505005 31.438037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54873816-0.54869726) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dl = 260.573900000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54873816-0.54869726) × R
    4.09000000000104e-05 × 6371000     		dr = 260.573900000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42764508-0.42769302) × cos(0.54873816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853183390825622 × 6371000     		do = 260.584168498454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42764508-0.42769302) × cos(0.54869726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.853204724004508 × 6371000     		du = 260.590684200402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54873816)-sin(0.54869726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853183390825622-0.853204724004508)×R²
    abs(0.42769302-0.42764508)×2.1333178886529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1333178886529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1333178886529e-05×40589641000000     		ar = 67902.28198429m²