Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74455 / 77561
↖ ↑ ↗
← S 31.337217°
E 24.496765°		 ← 260.82 m → S 31.337217°
E 24.499511°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 31.339563°
E 24.496765°		 ← 260.81 m →
68 044 m²		 S 31.339563°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568050384521484 y=0.591747283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568050384521484 × 217)
    floor (0.568050384521484 × 131072)
    floor (74455.5)     		tx = 74455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591747283935547 × 217)
    floor (0.591747283935547 × 131072)
    floor (77561.5)     		ty = 77561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74455 / 77561 ti = "17/74455/77561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74455/77561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74455 ÷ 217
    74455 ÷ 131072     		x = 0.568046569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77561 ÷ 217
    77561 ÷ 131072     		y = 0.591743469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568046569824219 × 2 - 1) × π
    0.136093139648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42754921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591743469238281 × 2 - 1) × π
    -0.183486938476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.576441217931175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42754921} λ = 0.42754921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576441217931175))-π/2
    2×atan(0.561894472579132)-π/2
    2×0.511929356073263-π/2
    1.02385871214653-1.57079632675     		φ = -0.54693761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42754921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.496765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54693761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.337217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74455 KachelY 77561 0.42754921 -0.54693761 24.496765 -31.337217
    Oben rechts KachelX + 1 74456 KachelY 77561 0.42759714 -0.54693761 24.499511 -31.337217
    Unten links KachelX 74455 KachelY + 1 77562 0.42754921 -0.54697856 24.496765 -31.339563
    Unten rechts KachelX + 1 74456 KachelY + 1 77562 0.42759714 -0.54697856 24.499511 -31.339563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54693761--0.54697856) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dl = 260.892450000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54693761--0.54697856) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dr = 260.892450000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42754921-0.42759714) × cos(-0.54693761) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854121194117128 × 6371000     		do = 260.816181701488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42754921-0.42759714) × cos(-0.54697856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854099896369897 × 6371000     		du = 260.809678178159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54693761)-sin(-0.54697856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854121194117128-0.854099896369897)×R²
    abs(0.42759714-0.42754921)×2.12977472315856e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12977472315856e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12977472315856e-05×40589641000000     		ar = 68044.1242932675m²