Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74455 / 77528
↖ ↑ ↗
← S 31.259770°
E 24.496765°		 ← 261.03 m → S 31.259770°
E 24.499511°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
S 31.262118°
E 24.496765°		 ← 261.02 m →
68 150 m²		 S 31.262118°
E 24.499511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568050384521484 y=0.591495513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568050384521484 × 217)
    floor (0.568050384521484 × 131072)
    floor (74455.5)     		tx = 74455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591495513916016 × 217)
    floor (0.591495513916016 × 131072)
    floor (77528.5)     		ty = 77528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74455 / 77528 ti = "17/74455/77528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74455/77528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74455 ÷ 217
    74455 ÷ 131072     		x = 0.568046569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77528 ÷ 217
    77528 ÷ 131072     		y = 0.59149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568046569824219 × 2 - 1) × π
    0.136093139648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42754921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.574859300243713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42754921} λ = 0.42754921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574859300243713))-π/2
    2×atan(0.562784046814891)-π/2
    2×0.512605208556403-π/2
    1.02521041711281-1.57079632675     		φ = -0.54558591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42754921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.496765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54558591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.259770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74455 KachelY 77528 0.42754921 -0.54558591 24.496765 -31.259770
    Oben rechts KachelX + 1 74456 KachelY 77528 0.42759714 -0.54558591 24.499511 -31.259770
    Unten links KachelX 74455 KachelY + 1 77529 0.42754921 -0.54562689 24.496765 -31.262118
    Unten rechts KachelX + 1 74456 KachelY + 1 77529 0.42759714 -0.54562689 24.499511 -31.262118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54558591--0.54562689) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dl = 261.083579999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54558591--0.54562689) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dr = 261.083579999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42754921-0.42759714) × cos(-0.54558591) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854823397675957 × 6371000     		do = 261.030608005685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42754921-0.42759714) × cos(-0.54562689) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854802131656371 × 6371000     		du = 261.024114170774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54558591)-sin(-0.54562689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854823397675957-0.854802131656371)×R²
    abs(0.42759714-0.42754921)×2.12660195857417e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12660195857417e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12660195857417e-05×40589641000000     		ar = 68149.9579202257m²