Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74454 / 77566
↖ ↑ ↗
← S 31.348946°
E 24.494019°		 ← 260.84 m → S 31.348946°
E 24.496765°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.351291°
E 24.494019°		 ← 260.83 m →
68 033 m²		 S 31.351291°
E 24.496765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568042755126953 y=0.591785430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568042755126953 × 217)
    floor (0.568042755126953 × 131072)
    floor (74454.5)     		tx = 74454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591785430908203 × 217)
    floor (0.591785430908203 × 131072)
    floor (77566.5)     		ty = 77566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74454 / 77566 ti = "17/74454/77566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74454/77566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74454 ÷ 217
    74454 ÷ 131072     		x = 0.568038940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77566 ÷ 217
    77566 ÷ 131072     		y = 0.591781616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568038940429688 × 2 - 1) × π
    0.136077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42750127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591781616210938 × 2 - 1) × π
    -0.183563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.576680902429275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42750127} λ = 0.42750127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576680902429275))-π/2
    2×atan(0.561759811323239)-π/2
    2×0.511827002648902-π/2
    1.0236540052978-1.57079632675     		φ = -0.54714232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42750127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.494019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54714232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.348946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74454 KachelY 77566 0.42750127 -0.54714232 24.494019 -31.348946
    Oben rechts KachelX + 1 74455 KachelY 77566 0.42754921 -0.54714232 24.496765 -31.348946
    Unten links KachelX 74454 KachelY + 1 77567 0.42750127 -0.54718326 24.494019 -31.351291
    Unten rechts KachelX + 1 74455 KachelY + 1 77567 0.42754921 -0.54718326 24.496765 -31.351291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54714232--0.54718326) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54714232--0.54718326) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42750127-0.42754921) × cos(-0.54714232) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85401471186886 × 6371000     		do = 260.838075343564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42750127-0.42754921) × cos(-0.54718326) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853993412165011 × 6371000     		du = 260.831569865755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54714232)-sin(-0.54718326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85401471186886-0.853993412165011)×R²
    abs(0.42754921-0.42750127)×2.12997038485652e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12997038485652e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12997038485652e-05×40589641000000     		ar = 68033.2181376722m²