Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74453 / 60874
↖ ↑ ↗
← N 12.699292°
E 24.491272°		 ← 297.95 m → N 12.699292°
E 24.494019°		 →
↑
297.91 m
↓
↑
297.91 m
↓
N 12.696612°
E 24.491272°		 ← 297.96 m →
88 763 m²		 N 12.696612°
E 24.494019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568035125732422 y=0.464435577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568035125732422 × 217)
    floor (0.568035125732422 × 131072)
    floor (74453.5)     		tx = 74453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464435577392578 × 217)
    floor (0.464435577392578 × 131072)
    floor (60874.5)     		ty = 60874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74453 / 60874 ti = "17/74453/60874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74453/60874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74453 ÷ 217
    74453 ÷ 131072     		x = 0.568031311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60874 ÷ 217
    60874 ÷ 131072     		y = 0.464431762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568031311035156 × 2 - 1) × π
    0.136062622070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42745333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464431762695312 × 2 - 1) × π
    0.071136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.223481826028702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42745333} λ = 0.42745333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223481826028702))-π/2
    2×atan(1.25042291491979)-π/2
    2×0.89622039049783-π/2
    1.79244078099566-1.57079632675     		φ = 0.22164445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42745333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.491272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22164445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.699292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74453 KachelY 60874 0.42745333 0.22164445 24.491272 12.699292
    Oben rechts KachelX + 1 74454 KachelY 60874 0.42750127 0.22164445 24.494019 12.699292
    Unten links KachelX 74453 KachelY + 1 60875 0.42745333 0.22159769 24.491272 12.696612
    Unten rechts KachelX + 1 74454 KachelY + 1 60875 0.42750127 0.22159769 24.494019 12.696612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22164445-0.22159769) × R
    4.6759999999979e-05 × 6371000     		dl = 297.907959999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22164445-0.22159769) × R
    4.6759999999979e-05 × 6371000     		dr = 297.907959999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42745333-0.42750127) × cos(0.22164445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975537262270318 × 6371000     		do = 297.954190226291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42745333-0.42750127) × cos(0.22159769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975547540648282 × 6371000     		du = 297.957329507486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22164445)-sin(0.22159769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975537262270318-0.975547540648282)×R²
    abs(0.42750127-0.42745333)×1.02783779641902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02783779641902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02783779641902e-05×40589641000000     		ar = 88763.3926083409m²