Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74452 / 76748
↖ ↑ ↗
← S 29.410890°
E 24.488526°		 ← 266.01 m → S 29.410890°
E 24.491272°		 →
↑
266.05 m
↓
↑
266.05 m
↓
S 29.413283°
E 24.488526°		 ← 266 m →
70 771 m²		 S 29.413283°
E 24.491272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568027496337891 y=0.585544586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568027496337891 × 217)
    floor (0.568027496337891 × 131072)
    floor (74452.5)     		tx = 74452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585544586181641 × 217)
    floor (0.585544586181641 × 131072)
    floor (76748.5)     		ty = 76748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74452 / 76748 ti = "17/74452/76748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74452/76748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74452 ÷ 217
    74452 ÷ 131072     		x = 0.568023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76748 ÷ 217
    76748 ÷ 131072     		y = 0.585540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568023681640625 × 2 - 1) × π
    0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.17108154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.53746851854007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42740540} λ = 0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53746851854007))-π/2
    2×atan(0.584225337588787)-π/2
    2×0.528739726901032-π/2
    1.05747945380206-1.57079632675     		φ = -0.51331687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51331687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.410890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74452 KachelY 76748 0.42740540 -0.51331687 24.488526 -29.410890
    Oben rechts KachelX + 1 74453 KachelY 76748 0.42745333 -0.51331687 24.491272 -29.410890
    Unten links KachelX 74452 KachelY + 1 76749 0.42740540 -0.51335863 24.488526 -29.413283
    Unten rechts KachelX + 1 74453 KachelY + 1 76749 0.42745333 -0.51335863 24.491272 -29.413283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51331687--0.51335863) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dl = 266.052960000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51331687--0.51335863) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dr = 266.052960000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42740540-0.42745333) × cos(-0.51331687) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871120489349699 × 6371000     		do = 266.00712100258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42740540-0.42745333) × cos(-0.51335863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871099981534649 × 6371000     		du = 266.000858694546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51331687)-sin(-0.51335863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871120489349699-0.871099981534649)×R²
    abs(0.42745333-0.42740540)×2.05078150495863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.05078150495863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.05078150495863e-05×40589641000000     		ar = 70771.148881368m²