Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74452 / 53788
↖ ↑ ↗
← N 30.685164°
E 24.488526°		 ← 262.61 m → N 30.685164°
E 24.491272°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
N 30.682802°
E 24.488526°		 ← 262.61 m →
68 965 m²		 N 30.682802°
E 24.491272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568027496337891 y=0.410373687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568027496337891 × 217)
    floor (0.568027496337891 × 131072)
    floor (74452.5)     		tx = 74452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410373687744141 × 217)
    floor (0.410373687744141 × 131072)
    floor (53788.5)     		ty = 53788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74452 / 53788 ti = "17/74452/53788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74452/53788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74452 ÷ 217
    74452 ÷ 131072     		x = 0.568023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53788 ÷ 217
    53788 ÷ 131072     		y = 0.410369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568023681640625 × 2 - 1) × π
    0.13604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42740540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410369873046875 × 2 - 1) × π
    0.17926025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.56316269673642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42740540} λ = 0.42740540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.56316269673642))-π/2
    2×atan(1.75621811141986)-π/2
    2×1.05317673450372-π/2
    2.10635346900744-1.57079632675     		φ = 0.53555714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42740540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.488526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53555714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.685164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74452 KachelY 53788 0.42740540 0.53555714 24.488526 30.685164
    Oben rechts KachelX + 1 74453 KachelY 53788 0.42745333 0.53555714 24.491272 30.685164
    Unten links KachelX 74452 KachelY + 1 53789 0.42740540 0.53551592 24.488526 30.682802
    Unten rechts KachelX + 1 74453 KachelY + 1 53789 0.42745333 0.53551592 24.491272 30.682802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53555714-0.53551592) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000     		dl = 262.6126199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53555714-0.53551592) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000     		dr = 262.6126199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42740540-0.42745333) × cos(0.53555714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.859984442936914 × 6371000     		do = 262.606595263796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42740540-0.42745333) × cos(0.53551592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.860005477607032 × 6371000     		du = 262.613018453364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53555714)-sin(0.53551592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859984442936914-0.860005477607032)×R²
    abs(0.42745333-0.42740540)×2.10346701182695e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10346701182695e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10346701182695e-05×40589641000000     		ar = 68964.6494264792m²