Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74450 / 78571
↖ ↑ ↗
← S 33.676354°
E 24.483032°		 ← 254.17 m → S 33.676354°
E 24.485779°		 →
↑
254.14 m
↓
↑
254.14 m
↓
S 33.678640°
E 24.483032°		 ← 254.16 m →
64 594 m²		 S 33.678640°
E 24.485779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568012237548828 y=0.599452972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568012237548828 × 217)
    floor (0.568012237548828 × 131072)
    floor (74450.5)     		tx = 74450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599452972412109 × 217)
    floor (0.599452972412109 × 131072)
    floor (78571.5)     		ty = 78571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74450 / 78571 ti = "17/74450/78571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74450/78571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74450 ÷ 217
    74450 ÷ 131072     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78571 ÷ 217
    78571 ÷ 131072     		y = 0.599449157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599449157714844 × 2 - 1) × π
    -0.198898315429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.624857486547432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624857486547432))-π/2
    2×atan(0.535337715909056)-π/2
    2×0.491516532774502-π/2
    0.983033065549005-1.57079632675     		φ = -0.58776326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58776326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.676354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74450 KachelY 78571 0.42730952 -0.58776326 24.483032 -33.676354
    Oben rechts KachelX + 1 74451 KachelY 78571 0.42735746 -0.58776326 24.485779 -33.676354
    Unten links KachelX 74450 KachelY + 1 78572 0.42730952 -0.58780315 24.483032 -33.678640
    Unten rechts KachelX + 1 74451 KachelY + 1 78572 0.42735746 -0.58780315 24.485779 -33.678640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58776326--0.58780315) × R
    3.98900000000424e-05 × 6371000     		dl = 254.13919000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58776326--0.58780315) × R
    3.98900000000424e-05 × 6371000     		dr = 254.13919000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(-0.58776326) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832183034417238 × 6371000     		do = 254.170119102458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(-0.58780315) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832160914708889 × 6371000     		du = 254.163363174167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58776326)-sin(-0.58780315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832183034417238-0.832160914708889)×R²
    abs(0.42735746-0.42730952)×2.21197083489777e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21197083489777e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21197083489777e-05×40589641000000     		ar = 64593.7297264222m²