Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74450 / 60870
↖ ↑ ↗
← N 12.710009°
E 24.483032°		 ← 297.94 m → N 12.710009°
E 24.485779°		 →
↑
297.97 m
↓
↑
297.97 m
↓
N 12.707330°
E 24.483032°		 ← 297.94 m →
88 779 m²		 N 12.707330°
E 24.485779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568012237548828 y=0.464405059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568012237548828 × 217)
    floor (0.568012237548828 × 131072)
    floor (74450.5)     		tx = 74450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464405059814453 × 217)
    floor (0.464405059814453 × 131072)
    floor (60870.5)     		ty = 60870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74450 / 60870 ti = "17/74450/60870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74450/60870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74450 ÷ 217
    74450 ÷ 131072     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60870 ÷ 217
    60870 ÷ 131072     		y = 0.464401245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464401245117188 × 2 - 1) × π
    0.071197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.223673573627182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223673573627182))-π/2
    2×atan(1.25066270349952)-π/2
    2×0.896313916989621-π/2
    1.79262783397924-1.57079632675     		φ = 0.22183151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22183151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.710009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74450 KachelY 60870 0.42730952 0.22183151 24.483032 12.710009
    Oben rechts KachelX + 1 74451 KachelY 60870 0.42735746 0.22183151 24.485779 12.710009
    Unten links KachelX 74450 KachelY + 1 60871 0.42730952 0.22178474 24.483032 12.707330
    Unten rechts KachelX + 1 74451 KachelY + 1 60871 0.42735746 0.22178474 24.485779 12.707330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22183151-0.22178474) × R
    4.67700000000015e-05 × 6371000     		dl = 297.97167000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22183151-0.22178474) × R
    4.67700000000015e-05 × 6371000     		dr = 297.97167000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.22183151) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975496123028255 × 6371000     		do = 297.941625243186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.22178474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.975506412138746 × 6371000     		du = 297.944767802371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22183151)-sin(0.22178474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975496123028255-0.975506412138746)×R²
    abs(0.42735746-0.42730952)×1.02891104910574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.02891104910574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.02891104910574e-05×40589641000000     		ar = 88778.6318491937m²