Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74450 / 55931
↖ ↑ ↗
← N 25.495348°
E 24.483032°		 ← 275.68 m → N 25.495348°
E 24.485779°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
N 25.492868°
E 24.483032°		 ← 275.69 m →
75 999 m²		 N 25.492868°
E 24.485779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568012237548828 y=0.426723480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568012237548828 × 217)
    floor (0.568012237548828 × 131072)
    floor (74450.5)     		tx = 74450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426723480224609 × 217)
    floor (0.426723480224609 × 131072)
    floor (55931.5)     		ty = 55931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74450 / 55931 ti = "17/74450/55931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74450/55931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74450 ÷ 217
    74450 ÷ 131072     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55931 ÷ 217
    55931 ÷ 131072     		y = 0.426719665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426719665527344 × 2 - 1) × π
    0.146560668945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.460433920850639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460433920850639))-π/2
    2×atan(1.58476149687761)-π/2
    2×1.00788704157794-π/2
    2.01577408315589-1.57079632675     		φ = 0.44497776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44497776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.495348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74450 KachelY 55931 0.42730952 0.44497776 24.483032 25.495348
    Oben rechts KachelX + 1 74451 KachelY 55931 0.42735746 0.44497776 24.485779 25.495348
    Unten links KachelX 74450 KachelY + 1 55932 0.42730952 0.44493449 24.483032 25.492868
    Unten rechts KachelX + 1 74451 KachelY + 1 55932 0.42735746 0.44493449 24.485779 25.492868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44497776-0.44493449) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44497776-0.44493449) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.44497776) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902620238556166 × 6371000     		do = 275.683454300132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.44493449) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.902638862755047 × 6371000     		du = 275.689142609857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44497776)-sin(0.44493449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902620238556166-0.902638862755047)×R²
    abs(0.42735746-0.42730952)×1.86241988808789e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86241988808789e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86241988808789e-05×40589641000000     		ar = 75999.3158325094m²