Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74450 / 55311
↖ ↑ ↗
← N 27.022431°
E 24.483032°		 ← 272.08 m → N 27.022431°
E 24.485779°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
N 27.019984°
E 24.483032°		 ← 272.09 m →
74 036 m²		 N 27.019984°
E 24.485779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568012237548828 y=0.421993255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568012237548828 × 217)
    floor (0.568012237548828 × 131072)
    floor (74450.5)     		tx = 74450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421993255615234 × 217)
    floor (0.421993255615234 × 131072)
    floor (55311.5)     		ty = 55311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74450 / 55311 ti = "17/74450/55311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74450/55311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74450 ÷ 217
    74450 ÷ 131072     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55311 ÷ 217
    55311 ÷ 131072     		y = 0.421989440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421989440917969 × 2 - 1) × π
    0.156021118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.490154798615074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490154798615074))-π/2
    2×atan(1.63256891980388)-π/2
    2×1.02121335779501-π/2
    2.04242671559002-1.57079632675     		φ = 0.47163039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47163039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.022431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74450 KachelY 55311 0.42730952 0.47163039 24.483032 27.022431
    Oben rechts KachelX + 1 74451 KachelY 55311 0.42735746 0.47163039 24.485779 27.022431
    Unten links KachelX 74450 KachelY + 1 55312 0.42730952 0.47158768 24.483032 27.019984
    Unten rechts KachelX + 1 74451 KachelY + 1 55312 0.42735746 0.47158768 24.485779 27.019984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47163039-0.47158768) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47163039-0.47158768) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.47163039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890828722281166 × 6371000     		do = 272.082021716116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.47158768) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.890848126299601 × 6371000     		du = 272.087948202806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47163039)-sin(0.47158768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890828722281166-0.890848126299601)×R²
    abs(0.42735746-0.42730952)×1.94040184348099e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94040184348099e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94040184348099e-05×40589641000000     		ar = 74035.7963984474m²