Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74450 / 53410
↖ ↑ ↗
← N 31.573856°
E 24.483032°		 ← 260.21 m → N 31.573856°
E 24.485779°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
N 31.571516°
E 24.483032°		 ← 260.22 m →
67 706 m²		 N 31.571516°
E 24.485779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568012237548828 y=0.407489776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568012237548828 × 217)
    floor (0.568012237548828 × 131072)
    floor (74450.5)     		tx = 74450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407489776611328 × 217)
    floor (0.407489776611328 × 131072)
    floor (53410.5)     		ty = 53410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74450 / 53410 ti = "17/74450/53410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74450/53410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74450 ÷ 217
    74450 ÷ 131072     		x = 0.568008422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53410 ÷ 217
    53410 ÷ 131072     		y = 0.407485961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568008422851562 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42730952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407485961914062 × 2 - 1) × π
    0.185028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.581282844792801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42730952} λ = 0.42730952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581282844792801))-π/2
    2×atan(1.78833111111282)-π/2
    2×1.06093203188437-π/2
    2.12186406376875-1.57079632675     		φ = 0.55106774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42730952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.483032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55106774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.573856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74450 KachelY 53410 0.42730952 0.55106774 24.483032 31.573856
    Oben rechts KachelX + 1 74451 KachelY 53410 0.42735746 0.55106774 24.485779 31.573856
    Unten links KachelX 74450 KachelY + 1 53411 0.42730952 0.55102690 24.483032 31.571516
    Unten rechts KachelX + 1 74451 KachelY + 1 53411 0.42735746 0.55102690 24.485779 31.571516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55106774-0.55102690) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dl = 260.191640000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55106774-0.55102690) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dr = 260.191640000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.55106774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851965942135513 × 6371000     		do = 260.212328331667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42730952-0.42735746) × cos(0.55102690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851987325134874 × 6371000     		du = 260.21885925007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55106774)-sin(0.55102690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851965942135513-0.851987325134874)×R²
    abs(0.42735746-0.42730952)×2.13829993608305e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13829993608305e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13829993608305e-05×40589641000000     		ar = 67705.9221115176m²