Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7445 / 10316
↖ ↑ ↗
← S 42.228518°
W 16.413574°		 ← 1 809.13 m → S 42.228518°
W 16.391602°		 →
↑
1 808.92 m
↓
↑
1 808.92 m
↓
S 42.244786°
W 16.413574°		 ← 1 808.66 m →
3 272 142 m²		 S 42.244786°
W 16.391602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454437255859375 y=0.629669189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454437255859375 × 214)
    floor (0.454437255859375 × 16384)
    floor (7445.5)     		tx = 7445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629669189453125 × 214)
    floor (0.629669189453125 × 16384)
    floor (10316.5)     		ty = 10316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7445 / 10316 ti = "14/7445/10316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7445/10316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7445 ÷ 214
    7445 ÷ 16384     		x = 0.45440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10316 ÷ 214
    10316 ÷ 16384     		y = 0.629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.0911865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28647091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28647091} λ = -0.28647091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814543798343994))-π/2
    2×atan(0.442841306223549)-π/2
    2×0.416884830355363-π/2
    0.833769660710726-1.57079632675     		φ = -0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28647091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.413574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7445 KachelY 10316 -0.28647091 -0.73702667 -16.413574 -42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 7446 KachelY 10316 -0.28608742 -0.73702667 -16.391602 -42.228518
    Unten links KachelX 7445 KachelY + 1 10317 -0.28647091 -0.73731060 -16.413574 -42.244786
    Unten rechts KachelX + 1 7446 KachelY + 1 10317 -0.28608742 -0.73731060 -16.391602 -42.244786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73702667--0.73731060) × R
    0.000283930000000043 × 6371000     		dl = 1808.91803000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73702667--0.73731060) × R
    0.000283930000000043 × 6371000     		dr = 1808.91803000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28647091--0.28608742) × cos(-0.73702667) × R
    0.000383490000000042 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 1809.12767570604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28647091--0.28608742) × cos(-0.73731060) × R
    0.000383490000000042 × 0.740279315830266 × 6371000     		du = 1808.66137316779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73702667)-sin(-0.73731060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.740279315830266)×R²
    abs(-0.28608742--0.28647091)×0.000190856137643691×R²
    0.000383490000000042×0.000190856137643691×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190856137643691×40589641000000     		ar = 3272141.94160497m²