Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74449 / 78575
↖ ↑ ↗
← S 33.685496°
E 24.480286°		 ← 254.09 m → S 33.685496°
E 24.483032°		 →
↑
254.14 m
↓
↑
254.14 m
↓
S 33.687782°
E 24.480286°		 ← 254.08 m →
64 573 m²		 S 33.687782°
E 24.483032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568004608154297 y=0.599483489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568004608154297 × 217)
    floor (0.568004608154297 × 131072)
    floor (74449.5)     		tx = 74449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599483489990234 × 217)
    floor (0.599483489990234 × 131072)
    floor (78575.5)     		ty = 78575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74449 / 78575 ti = "17/74449/78575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74449/78575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74449 ÷ 217
    74449 ÷ 131072     		x = 0.568000793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78575 ÷ 217
    78575 ÷ 131072     		y = 0.599479675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568000793457031 × 2 - 1) × π
    0.136001586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42726159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599479675292969 × 2 - 1) × π
    -0.198959350585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.625049234145912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42726159} λ = 0.42726159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625049234145912))-π/2
    2×atan(0.535235076028444)-π/2
    2×0.4914367524671-π/2
    0.9828735049342-1.57079632675     		φ = -0.58792282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42726159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.480286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58792282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.685496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74449 KachelY 78575 0.42726159 -0.58792282 24.480286 -33.685496
    Oben rechts KachelX + 1 74450 KachelY 78575 0.42730952 -0.58792282 24.483032 -33.685496
    Unten links KachelX 74449 KachelY + 1 78576 0.42726159 -0.58796271 24.480286 -33.687782
    Unten rechts KachelX + 1 74450 KachelY + 1 78576 0.42730952 -0.58796271 24.483032 -33.687782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58792282--0.58796271) × R
    3.98900000000424e-05 × 6371000     		dl = 254.13919000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58792282--0.58796271) × R
    3.98900000000424e-05 × 6371000     		dr = 254.13919000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42726159-0.42730952) × cos(-0.58792282) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.832094547639116 × 6371000     		do = 254.090080218873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42726159-0.42730952) × cos(-0.58796271) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.8320724226344 × 6371000     		du = 254.083324082519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58792282)-sin(-0.58796271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832094547639116-0.8320724226344)×R²
    abs(0.42730952-0.42726159)×2.21250047158783e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21250047158783e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21250047158783e-05×40589641000000     		ar = 64573.3886829778m²