Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74449 / 55471
↖ ↑ ↗
← N 26.630273°
E 24.480286°		 ← 272.97 m → N 26.630273°
E 24.483032°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
N 26.627818°
E 24.480286°		 ← 272.97 m →
74 520 m²		 N 26.627818°
E 24.483032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568004608154297 y=0.423213958740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568004608154297 × 217)
    floor (0.568004608154297 × 131072)
    floor (74449.5)     		tx = 74449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423213958740234 × 217)
    floor (0.423213958740234 × 131072)
    floor (55471.5)     		ty = 55471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74449 / 55471 ti = "17/74449/55471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74449/55471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74449 ÷ 217
    74449 ÷ 131072     		x = 0.568000793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55471 ÷ 217
    55471 ÷ 131072     		y = 0.423210144042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568000793457031 × 2 - 1) × π
    0.136001586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42726159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423210144042969 × 2 - 1) × π
    0.153579711914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.482484894675865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42726159} λ = 0.42726159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482484894675865))-π/2
    2×atan(1.62009517039453)-π/2
    2×1.01779113977545-π/2
    2.0355822795509-1.57079632675     		φ = 0.46478595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42726159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.480286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46478595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.630273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74449 KachelY 55471 0.42726159 0.46478595 24.480286 26.630273
    Oben rechts KachelX + 1 74450 KachelY 55471 0.42730952 0.46478595 24.483032 26.630273
    Unten links KachelX 74449 KachelY + 1 55472 0.42726159 0.46474310 24.480286 26.627818
    Unten rechts KachelX + 1 74450 KachelY + 1 55472 0.42730952 0.46474310 24.483032 26.627818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46478595-0.46474310) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dl = 272.997349999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46478595-0.46474310) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dr = 272.997349999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42726159-0.42730952) × cos(0.46478595) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893917530030346 × 6371000     		do = 272.968471622503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42726159-0.42730952) × cos(0.46474310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893936735928101 × 6371000     		du = 272.97433637443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46478595)-sin(0.46474310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893917530030346-0.893936735928101)×R²
    abs(0.42730952-0.42726159)×1.92058977555032e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92058977555032e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92058977555032e-05×40589641000000     		ar = 74520.4699288031m²