Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74447 / 76743
↖ ↑ ↗
← S 29.398927°
E 24.474792°		 ← 266.09 m → S 29.398927°
E 24.477539°		 →
↑
266.05 m
↓
↑
266.05 m
↓
S 29.401320°
E 24.474792°		 ← 266.09 m →
70 794 m²		 S 29.401320°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567989349365234 y=0.585506439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567989349365234 × 217)
    floor (0.567989349365234 × 131072)
    floor (74447.5)     		tx = 74447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585506439208984 × 217)
    floor (0.585506439208984 × 131072)
    floor (76743.5)     		ty = 76743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74447 / 76743 ti = "17/74447/76743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74447/76743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74447 ÷ 217
    74447 ÷ 131072     		x = 0.567985534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76743 ÷ 217
    76743 ÷ 131072     		y = 0.585502624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567985534667969 × 2 - 1) × π
    0.135971069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42716571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585502624511719 × 2 - 1) × π
    -0.171005249023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.537228834041969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42716571} λ = 0.42716571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537228834041969))-π/2
    2×atan(0.584365384128426)-π/2
    2×0.52884413008283-π/2
    1.05768826016566-1.57079632675     		φ = -0.51310807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42716571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.474792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51310807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.398927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74447 KachelY 76743 0.42716571 -0.51310807 24.474792 -29.398927
    Oben rechts KachelX + 1 74448 KachelY 76743 0.42721365 -0.51310807 24.477539 -29.398927
    Unten links KachelX 74447 KachelY + 1 76744 0.42716571 -0.51314983 24.474792 -29.401320
    Unten rechts KachelX + 1 74448 KachelY + 1 76744 0.42721365 -0.51314983 24.477539 -29.401320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51310807--0.51314983) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dl = 266.052960000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51310807--0.51314983) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dr = 266.052960000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(-0.51310807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871223005637057 × 6371000     		do = 266.093931201856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(-0.51314983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87120250541809 × 6371000     		du = 266.087669907308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51310807)-sin(-0.51314983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871223005637057-0.87120250541809)×R²
    abs(0.42721365-0.42716571)×2.05002189673786e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05002189673786e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05002189673786e-05×40589641000000     		ar = 70794.2451266392m²