Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74447 / 53742
↖ ↑ ↗
← N 30.793755°
E 24.474792°		 ← 262.37 m → N 30.793755°
E 24.477539°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 30.791396°
E 24.474792°		 ← 262.37 m →
68 834 m²		 N 30.791396°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567989349365234 y=0.410022735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567989349365234 × 217)
    floor (0.567989349365234 × 131072)
    floor (74447.5)     		tx = 74447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410022735595703 × 217)
    floor (0.410022735595703 × 131072)
    floor (53742.5)     		ty = 53742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74447 / 53742 ti = "17/74447/53742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74447/53742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74447 ÷ 217
    74447 ÷ 131072     		x = 0.567985534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53742 ÷ 217
    53742 ÷ 131072     		y = 0.410018920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567985534667969 × 2 - 1) × π
    0.135971069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42716571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410018920898438 × 2 - 1) × π
    0.179962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.565367794118942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42716571} λ = 0.42716571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565367794118942))-π/2
    2×atan(1.76009501628594)-π/2
    2×1.05412437536382-π/2
    2.10824875072764-1.57079632675     		φ = 0.53745242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42716571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.474792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53745242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.793755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74447 KachelY 53742 0.42716571 0.53745242 24.474792 30.793755
    Oben rechts KachelX + 1 74448 KachelY 53742 0.42721365 0.53745242 24.477539 30.793755
    Unten links KachelX 74447 KachelY + 1 53743 0.42716571 0.53741124 24.474792 30.791396
    Unten rechts KachelX + 1 74448 KachelY + 1 53743 0.42721365 0.53741124 24.477539 30.791396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53745242-0.53741124) × R
    4.1180000000085e-05 × 6371000     		dl = 262.357780000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53745242-0.53741124) × R
    4.1180000000085e-05 × 6371000     		dr = 262.357780000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(0.53745242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859015699183198 × 6371000     		do = 262.365505594778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(0.53741124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859036780524709 × 6371000     		du = 262.371944379109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53745242)-sin(0.53741124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859015699183198-0.859036780524709)×R²
    abs(0.42721365-0.42716571)×2.1081341510909e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1081341510909e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1081341510909e-05×40589641000000     		ar = 68834.4762388626m²