Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74447 / 53615
↖ ↑ ↗
← N 31.092926°
E 24.474792°		 ← 261.55 m → N 31.092926°
E 24.477539°		 →
↑
261.53 m
↓
↑
261.53 m
↓
N 31.090574°
E 24.474792°		 ← 261.55 m →
68 403 m²		 N 31.090574°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567989349365234 y=0.409053802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567989349365234 × 217)
    floor (0.567989349365234 × 131072)
    floor (74447.5)     		tx = 74447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409053802490234 × 217)
    floor (0.409053802490234 × 131072)
    floor (53615.5)     		ty = 53615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74447 / 53615 ti = "17/74447/53615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74447/53615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74447 ÷ 217
    74447 ÷ 131072     		x = 0.567985534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53615 ÷ 217
    53615 ÷ 131072     		y = 0.409049987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567985534667969 × 2 - 1) × π
    0.135971069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42716571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409049987792969 × 2 - 1) × π
    0.181900024414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.571455780370689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42716571} λ = 0.42716571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.571455780370689))-π/2
    2×atan(1.77084313454801)-π/2
    2×1.05673513071363-π/2
    2.11347026142725-1.57079632675     		φ = 0.54267393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42716571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.474792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54267393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.092926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74447 KachelY 53615 0.42716571 0.54267393 24.474792 31.092926
    Oben rechts KachelX + 1 74448 KachelY 53615 0.42721365 0.54267393 24.477539 31.092926
    Unten links KachelX 74447 KachelY + 1 53616 0.42716571 0.54263288 24.474792 31.090574
    Unten rechts KachelX + 1 74448 KachelY + 1 53616 0.42721365 0.54263288 24.477539 31.090574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54267393-0.54263288) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dl = 261.529549999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54267393-0.54263288) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dr = 261.529549999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(0.54267393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856330853085371 × 6371000     		do = 261.545484488562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(0.54263288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856352051717002 × 6371000     		du = 261.551959096315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54267393)-sin(0.54263288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856330853085371-0.856352051717002)×R²
    abs(0.42721365-0.42716571)×2.11986316308588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11986316308588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11986316308588e-05×40589641000000     		ar = 68402.7195231004m²