Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74447 / 53359
↖ ↑ ↗
← N 31.693119°
E 24.474792°		 ← 259.88 m → N 31.693119°
E 24.477539°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
N 31.690782°
E 24.474792°		 ← 259.89 m →
67 520 m²		 N 31.690782°
E 24.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567989349365234 y=0.407100677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567989349365234 × 217)
    floor (0.567989349365234 × 131072)
    floor (74447.5)     		tx = 74447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407100677490234 × 217)
    floor (0.407100677490234 × 131072)
    floor (53359.5)     		ty = 53359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74447 / 53359 ti = "17/74447/53359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74447/53359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74447 ÷ 217
    74447 ÷ 131072     		x = 0.567985534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53359 ÷ 217
    53359 ÷ 131072     		y = 0.407096862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567985534667969 × 2 - 1) × π
    0.135971069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42716571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407096862792969 × 2 - 1) × π
    0.185806274414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.583727626673424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42716571} λ = 0.42716571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583727626673424))-π/2
    2×atan(1.79270853935814)-π/2
    2×1.0619728003071-π/2
    2.1239456006142-1.57079632675     		φ = 0.55314927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42716571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.474792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55314927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.693119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74447 KachelY 53359 0.42716571 0.55314927 24.474792 31.693119
    Oben rechts KachelX + 1 74448 KachelY 53359 0.42721365 0.55314927 24.477539 31.693119
    Unten links KachelX 74447 KachelY + 1 53360 0.42716571 0.55310849 24.474792 31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 74448 KachelY + 1 53360 0.42721365 0.55310849 24.477539 31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55314927-0.55310849) × R
    4.07800000000735e-05 × 6371000     		dl = 259.809380000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55314927-0.55310849) × R
    4.07800000000735e-05 × 6371000     		dr = 259.809380000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(0.55314927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850874213947361 × 6371000     		do = 259.878886441921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42716571-0.42721365) × cos(0.55310849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850895637806526 × 6371000     		du = 259.885429839961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55314927)-sin(0.55310849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850874213947361-0.850895637806526)×R²
    abs(0.42721365-0.42716571)×2.14238591659255e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14238591659255e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14238591659255e-05×40589641000000     		ar = 67519.8223889613m²