Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74446 / 76740
↖ ↑ ↗
← S 29.391748°
E 24.472046°		 ← 266.06 m → S 29.391748°
E 24.474792°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.394141°
E 24.472046°		 ← 266.05 m →
70 801 m²		 S 29.394141°
E 24.474792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567981719970703 y=0.585483551025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567981719970703 × 217)
    floor (0.567981719970703 × 131072)
    floor (74446.5)     		tx = 74446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585483551025391 × 217)
    floor (0.585483551025391 × 131072)
    floor (76740.5)     		ty = 76740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74446 / 76740 ti = "17/74446/76740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74446/76740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74446 ÷ 217
    74446 ÷ 131072     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76740 ÷ 217
    76740 ÷ 131072     		y = 0.585479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.17095947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.537085023343109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537085023343109))-π/2
    2×atan(0.584449428165778)-π/2
    2×0.528906777888718-π/2
    1.05781355577744-1.57079632675     		φ = -0.51298277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51298277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.391748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74446 KachelY 76740 0.42711778 -0.51298277 24.472046 -29.391748
    Oben rechts KachelX + 1 74447 KachelY 76740 0.42716571 -0.51298277 24.474792 -29.391748
    Unten links KachelX 74446 KachelY + 1 76741 0.42711778 -0.51302454 24.472046 -29.394141
    Unten rechts KachelX + 1 74447 KachelY + 1 76741 0.42716571 -0.51302454 24.474792 -29.394141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51298277--0.51302454) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51298277--0.51302454) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42716571) × cos(-0.51298277) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87128450699344 × 6371000     		do = 266.057205762921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42716571) × cos(-0.51302454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.871264006425132 × 6371000     		du = 266.050945667766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51298277)-sin(-0.51302454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87128450699344-0.871264006425132)×R²
    abs(0.42716571-0.42711778)×2.05005683078241e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.05005683078241e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.05005683078241e-05×40589641000000     		ar = 70801.4246794516m²