Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74446 / 54041
↖ ↑ ↗
← N 30.085731°
E 24.472046°		 ← 264.22 m → N 30.085731°
E 24.474792°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
N 30.083355°
E 24.472046°		 ← 264.23 m →
69 827 m²		 N 30.083355°
E 24.474792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567981719970703 y=0.412303924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567981719970703 × 217)
    floor (0.567981719970703 × 131072)
    floor (74446.5)     		tx = 74446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412303924560547 × 217)
    floor (0.412303924560547 × 131072)
    floor (54041.5)     		ty = 54041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74446 / 54041 ti = "17/74446/54041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74446/54041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74446 ÷ 217
    74446 ÷ 131072     		x = 0.567977905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54041 ÷ 217
    54041 ÷ 131072     		y = 0.412300109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567977905273438 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42711778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412300109863281 × 2 - 1) × π
    0.175399780273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.551034661132546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42711778} λ = 0.42711778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551034661132546))-π/2
    2×atan(1.73504727546208)-π/2
    2×1.04794569730408-π/2
    2.09589139460816-1.57079632675     		φ = 0.52509507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42711778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.472046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52509507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.085731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74446 KachelY 54041 0.42711778 0.52509507 24.472046 30.085731
    Oben rechts KachelX + 1 74447 KachelY 54041 0.42716571 0.52509507 24.474792 30.085731
    Unten links KachelX 74446 KachelY + 1 54042 0.42711778 0.52505359 24.472046 30.083355
    Unten rechts KachelX + 1 74447 KachelY + 1 54042 0.42716571 0.52505359 24.474792 30.083355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52509507-0.52505359) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dl = 264.269080000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52509507-0.52505359) × R
    4.14800000000382e-05 × 6371000     		dr = 264.269080000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42711778-0.42716571) × cos(0.52509507) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865276287392128 × 6371000     		do = 264.222523628779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42711778-0.42716571) × cos(0.52505359) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.865297080375477 × 6371000     		du = 264.228873016385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52509507)-sin(0.52505359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865276287392128-0.865297080375477)×R²
    abs(0.42716571-0.42711778)×2.0792983349005e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0792983349005e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0792983349005e-05×40589641000000     		ar = 69826.6822181187m²