Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74445 / 76757
↖ ↑ ↗
← S 29.432421°
E 24.469299°		 ← 266.01 m → S 29.432421°
E 24.472046°		 →
↑
265.99 m
↓
↑
265.99 m
↓
S 29.434813°
E 24.469299°		 ← 266 m →
70 754 m²		 S 29.434813°
E 24.472046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567974090576172 y=0.585613250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567974090576172 × 217)
    floor (0.567974090576172 × 131072)
    floor (74445.5)     		tx = 74445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585613250732422 × 217)
    floor (0.585613250732422 × 131072)
    floor (76757.5)     		ty = 76757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74445 / 76757 ti = "17/74445/76757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74445/76757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74445 ÷ 217
    74445 ÷ 131072     		x = 0.567970275878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76757 ÷ 217
    76757 ÷ 131072     		y = 0.585609436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567970275878906 × 2 - 1) × π
    0.135940551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42706984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585609436035156 × 2 - 1) × π
    -0.171218872070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.53789995063665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42706984} λ = 0.42706984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53789995063665))-π/2
    2×atan(0.583973338390695)-π/2
    2×0.528551832140908-π/2
    1.05710366428182-1.57079632675     		φ = -0.51369266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42706984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.469299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51369266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.432421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74445 KachelY 76757 0.42706984 -0.51369266 24.469299 -29.432421
    Oben rechts KachelX + 1 74446 KachelY 76757 0.42711778 -0.51369266 24.472046 -29.432421
    Unten links KachelX 74445 KachelY + 1 76758 0.42706984 -0.51373441 24.469299 -29.434813
    Unten rechts KachelX + 1 74446 KachelY + 1 76758 0.42711778 -0.51373441 24.472046 -29.434813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51369266--0.51373441) × R
    4.17499999999515e-05 × 6371000     		dl = 265.989249999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51369266--0.51373441) × R
    4.17499999999515e-05 × 6371000     		dr = 265.989249999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42706984-0.42711778) × cos(-0.51369266) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.870935888899161 × 6371000     		do = 266.006238359718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42706984-0.42711778) × cos(-0.51373441) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.870915372329566 × 6371000     		du = 265.999972071267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51369266)-sin(-0.51373441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870935888899161-0.870915372329566)×R²
    abs(0.42711778-0.42706984)×2.05165695954523e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.05165695954523e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.05165695954523e-05×40589641000000     		ar = 70753.9664641067m²