Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74444 / 77532
↖ ↑ ↗
← S 31.269161°
E 24.466553°		 ← 261.06 m → S 31.269161°
E 24.469299°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
S 31.271508°
E 24.466553°		 ← 261.05 m →
68 141 m²		 S 31.271508°
E 24.469299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567966461181641 y=0.591526031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567966461181641 × 217)
    floor (0.567966461181641 × 131072)
    floor (74444.5)     		tx = 74444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591526031494141 × 217)
    floor (0.591526031494141 × 131072)
    floor (77532.5)     		ty = 77532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74444 / 77532 ti = "17/74444/77532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74444/77532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74444 ÷ 217
    74444 ÷ 131072     		x = 0.567962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77532 ÷ 217
    77532 ÷ 131072     		y = 0.591522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567962646484375 × 2 - 1) × π
    0.13592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42702190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.18304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.575051047842194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42702190} λ = 0.42702190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575051047842194))-π/2
    2×atan(0.56267614467077)-π/2
    2×0.512523257467134-π/2
    1.02504651493427-1.57079632675     		φ = -0.54574981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42702190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54574981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.269161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74444 KachelY 77532 0.42702190 -0.54574981 24.466553 -31.269161
    Oben rechts KachelX + 1 74445 KachelY 77532 0.42706984 -0.54574981 24.469299 -31.269161
    Unten links KachelX 74444 KachelY + 1 77533 0.42702190 -0.54579078 24.466553 -31.271508
    Unten rechts KachelX + 1 74445 KachelY + 1 77533 0.42706984 -0.54579078 24.469299 -31.271508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54574981--0.54579078) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54574981--0.54579078) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42702190-0.42706984) × cos(-0.54574981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854738335365814 × 6371000     		do = 261.059088585301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42702190-0.42706984) × cos(-0.54579078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854717068796001 × 6371000     		du = 261.052593227478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54574981)-sin(-0.54579078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854738335365814-0.854717068796001)×R²
    abs(0.42706984-0.42702190)×2.12665698128278e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12665698128278e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12665698128278e-05×40589641000000     		ar = 68140.7616656019m²