Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74443 / 76739
↖ ↑ ↗
← S 29.389354°
E 24.463806°		 ← 266.12 m → S 29.389354°
E 24.466553°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.391748°
E 24.463806°		 ← 266.11 m →
70 818 m²		 S 29.391748°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567958831787109 y=0.585475921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567958831787109 × 217)
    floor (0.567958831787109 × 131072)
    floor (74443.5)     		tx = 74443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585475921630859 × 217)
    floor (0.585475921630859 × 131072)
    floor (76739.5)     		ty = 76739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74443 / 76739 ti = "17/74443/76739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74443/76739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74443 ÷ 217
    74443 ÷ 131072     		x = 0.567955017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76739 ÷ 217
    76739 ÷ 131072     		y = 0.585472106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567955017089844 × 2 - 1) × π
    0.135910034179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42697396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585472106933594 × 2 - 1) × π
    -0.170944213867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.537037086443489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42697396} λ = 0.42697396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.537037086443489))-π/2
    2×atan(0.584477445530877)-π/2
    2×0.528927661473332-π/2
    1.05785532294666-1.57079632675     		φ = -0.51294100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42697396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.463806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51294100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.389354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74443 KachelY 76739 0.42697396 -0.51294100 24.463806 -29.389354
    Oben rechts KachelX + 1 74444 KachelY 76739 0.42702190 -0.51294100 24.466553 -29.389354
    Unten links KachelX 74443 KachelY + 1 76740 0.42697396 -0.51298277 24.463806 -29.391748
    Unten rechts KachelX + 1 74444 KachelY + 1 76740 0.42702190 -0.51298277 24.466553 -29.391748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51294100--0.51298277) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dl = 266.116670000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51294100--0.51298277) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dr = 266.116670000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42697396-0.42702190) × cos(-0.51294100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.871305006041589 × 6371000     		do = 266.11897623609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42697396-0.42702190) × cos(-0.51298277) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87128450699344 × 6371000     		du = 266.11271529914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51294100)-sin(-0.51298277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871305006041589-0.87128450699344)×R²
    abs(0.42702190-0.42697396)×2.04990481491585e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04990481491585e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04990481491585e-05×40589641000000     		ar = 70817.8627202939m²