Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74443 / 53593
↖ ↑ ↗
← N 31.144656°
E 24.463806°		 ← 261.40 m → N 31.144656°
E 24.466553°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
N 31.142305°
E 24.463806°		 ← 261.41 m →
68 332 m²		 N 31.142305°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567958831787109 y=0.408885955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567958831787109 × 217)
    floor (0.567958831787109 × 131072)
    floor (74443.5)     		tx = 74443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408885955810547 × 217)
    floor (0.408885955810547 × 131072)
    floor (53593.5)     		ty = 53593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74443 / 53593 ti = "17/74443/53593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74443/53593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74443 ÷ 217
    74443 ÷ 131072     		x = 0.567955017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53593 ÷ 217
    53593 ÷ 131072     		y = 0.408882141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567955017089844 × 2 - 1) × π
    0.135910034179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42697396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408882141113281 × 2 - 1) × π
    0.182235717773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.572510392162331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42697396} λ = 0.42697396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572510392162331))-π/2
    2×atan(1.77271167171633)-π/2
    2×1.05718655601743-π/2
    2.11437311203486-1.57079632675     		φ = 0.54357679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42697396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.463806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54357679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.144656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74443 KachelY 53593 0.42697396 0.54357679 24.463806 31.144656
    Oben rechts KachelX + 1 74444 KachelY 53593 0.42702190 0.54357679 24.466553 31.144656
    Unten links KachelX 74443 KachelY + 1 53594 0.42697396 0.54353576 24.463806 31.142305
    Unten rechts KachelX + 1 74444 KachelY + 1 53594 0.42702190 0.54353576 24.466553 31.142305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54357679-0.54353576) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54357679-0.54353576) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42697396-0.42702190) × cos(0.54357679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855864242300604 × 6371000     		do = 261.402969544333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42697396-0.42702190) × cos(0.54353576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855885462318354 × 6371000     		du = 261.409450683957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54357679)-sin(0.54353576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855864242300604-0.855885462318354)×R²
    abs(0.42702190-0.42697396)×2.12200177501787e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12200177501787e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12200177501787e-05×40589641000000     		ar = 68332.1401286203m²