Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74443 / 53354
↖ ↑ ↗
← N 31.704803°
E 24.463806°		 ← 259.85 m → N 31.704803°
E 24.466553°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
N 31.702466°
E 24.463806°		 ← 259.85 m →
67 511 m²		 N 31.702466°
E 24.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567958831787109 y=0.407062530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567958831787109 × 217)
    floor (0.567958831787109 × 131072)
    floor (74443.5)     		tx = 74443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407062530517578 × 217)
    floor (0.407062530517578 × 131072)
    floor (53354.5)     		ty = 53354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74443 / 53354 ti = "17/74443/53354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74443/53354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74443 ÷ 217
    74443 ÷ 131072     		x = 0.567955017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53354 ÷ 217
    53354 ÷ 131072     		y = 0.407058715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567955017089844 × 2 - 1) × π
    0.135910034179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42697396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407058715820312 × 2 - 1) × π
    0.185882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.583967311171524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42697396} λ = 0.42697396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583967311171524))-π/2
    2×atan(1.7931382753031)-π/2
    2×1.06207476456566-π/2
    2.12414952913132-1.57079632675     		φ = 0.55335320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42697396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.463806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55335320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.704803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74443 KachelY 53354 0.42697396 0.55335320 24.463806 31.704803
    Oben rechts KachelX + 1 74444 KachelY 53354 0.42702190 0.55335320 24.466553 31.704803
    Unten links KachelX 74443 KachelY + 1 53355 0.42697396 0.55331242 24.463806 31.702466
    Unten rechts KachelX + 1 74444 KachelY + 1 53355 0.42702190 0.55331242 24.466553 31.702466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55335320-0.55331242) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55335320-0.55331242) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42697396-0.42702190) × cos(0.55335320) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85076705766079 × 6371000     		do = 259.8461581538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42697396-0.42702190) × cos(0.55331242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850788488595696 × 6371000     		du = 259.852703712952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55335320)-sin(0.55331242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85076705766079-0.850788488595696)×R²
    abs(0.42702190-0.42697396)×2.14309349051423e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14309349051423e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14309349051423e-05×40589641000000     		ar = 67511.3195535267m²