Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74442 / 53287
↖ ↑ ↗
← N 31.861230°
E 24.461060°		 ← 259.35 m → N 31.861230°
E 24.463806°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
N 31.858897°
E 24.461060°		 ← 259.36 m →
67 267 m²		 N 31.858897°
E 24.463806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567951202392578 y=0.406551361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567951202392578 × 217)
    floor (0.567951202392578 × 131072)
    floor (74442.5)     		tx = 74442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406551361083984 × 217)
    floor (0.406551361083984 × 131072)
    floor (53287.5)     		ty = 53287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74442 / 53287 ti = "17/74442/53287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74442/53287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74442 ÷ 217
    74442 ÷ 131072     		x = 0.567947387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53287 ÷ 217
    53287 ÷ 131072     		y = 0.406547546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567947387695312 × 2 - 1) × π
    0.135894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42692603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406547546386719 × 2 - 1) × π
    0.186904907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.587179083446068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42692603} λ = 0.42692603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587179083446068))-π/2
    2×atan(1.79890668555153)-π/2
    2×1.06343984548888-π/2
    2.12687969097776-1.57079632675     		φ = 0.55608336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42692603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.461060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55608336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.861230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74442 KachelY 53287 0.42692603 0.55608336 24.461060 31.861230
    Oben rechts KachelX + 1 74443 KachelY 53287 0.42697396 0.55608336 24.463806 31.861230
    Unten links KachelX 74442 KachelY + 1 53288 0.42692603 0.55604265 24.461060 31.858897
    Unten rechts KachelX + 1 74443 KachelY + 1 53288 0.42697396 0.55604265 24.463806 31.858897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55608336-0.55604265) × R
    4.07100000000549e-05 × 6371000     		dl = 259.36341000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55608336-0.55604265) × R
    4.07100000000549e-05 × 6371000     		dr = 259.36341000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42692603-0.42697396) × cos(0.55608336) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.849329072336988 × 6371000     		do = 259.352849666698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42692603-0.42697396) × cos(0.55604265) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.849350560965995 × 6371000     		du = 259.359411478074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55608336)-sin(0.55604265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849329072336988-0.849350560965995)×R²
    abs(0.42697396-0.42692603)×2.14886290078597e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14886290078597e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14886290078597e-05×40589641000000     		ar = 67267.4904392194m²