Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74441 / 53833
↖ ↑ ↗
← N 30.578815°
E 24.458313°		 ← 262.95 m → N 30.578815°
E 24.461060°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
N 30.576450°
E 24.458313°		 ← 262.96 m →
69 139 m²		 N 30.576450°
E 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567943572998047 y=0.410717010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567943572998047 × 217)
    floor (0.567943572998047 × 131072)
    floor (74441.5)     		tx = 74441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410717010498047 × 217)
    floor (0.410717010498047 × 131072)
    floor (53833.5)     		ty = 53833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74441 / 53833 ti = "17/74441/53833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74441/53833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74441 ÷ 217
    74441 ÷ 131072     		x = 0.567939758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53833 ÷ 217
    53833 ÷ 131072     		y = 0.410713195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567939758300781 × 2 - 1) × π
    0.135879516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42687809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410713195800781 × 2 - 1) × π
    0.178573608398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.561005536253517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42687809} λ = 0.42687809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561005536253517))-π/2
    2×atan(1.75243375031516)-π/2
    2×1.05224866207215-π/2
    2.10449732414431-1.57079632675     		φ = 0.53370100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42687809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.458313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53370100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.578815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74441 KachelY 53833 0.42687809 0.53370100 24.458313 30.578815
    Oben rechts KachelX + 1 74442 KachelY 53833 0.42692603 0.53370100 24.461060 30.578815
    Unten links KachelX 74441 KachelY + 1 53834 0.42687809 0.53365973 24.458313 30.576450
    Unten rechts KachelX + 1 74442 KachelY + 1 53834 0.42692603 0.53365973 24.461060 30.576450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53370100-0.53365973) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dl = 262.931169999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53370100-0.53365973) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dr = 262.931169999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42687809-0.42692603) × cos(0.53370100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860930186789747 × 6371000     		do = 262.950239388729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42687809-0.42692603) × cos(0.53365973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860951181059756 × 6371000     		du = 262.956651579182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53370100)-sin(0.53365973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860930186789747-0.860951181059756)×R²
    abs(0.42692603-0.42687809)×2.09942700091226e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09942700091226e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09942700091226e-05×40589641000000     		ar = 69138.6570863621m²