Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7444 / 3405
↖ ↑ ↗
← N 71.876745°
W 16.435547°		 ← 760.01 m → N 71.876745°
W 16.413574°		 →
↑
760.12 m
↓
↑
760.12 m
↓
N 71.869909°
W 16.435547°		 ← 760.29 m →
577 808 m²		 N 71.869909°
W 16.413574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454376220703125 y=0.207855224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454376220703125 × 214)
    floor (0.454376220703125 × 16384)
    floor (7444.5)     		tx = 7444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207855224609375 × 214)
    floor (0.207855224609375 × 16384)
    floor (3405.5)     		ty = 3405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7444 / 3405 ti = "14/7444/3405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7444/3405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7444 ÷ 214
    7444 ÷ 16384     		x = 0.454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3405 ÷ 214
    3405 ÷ 16384     		y = 0.20782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20782470703125 × 2 - 1) × π
    0.5843505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83579150784967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28685441} λ = -0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83579150784967))-π/2
    2×atan(6.27009501131421)-π/2
    2×1.41264108856408-π/2
    2.82528217712815-1.57079632675     		φ = 1.25448585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25448585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.876745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7444 KachelY 3405 -0.28685441 1.25448585 -16.435547 71.876745
    Oben rechts KachelX + 1 7445 KachelY 3405 -0.28647091 1.25448585 -16.413574 71.876745
    Unten links KachelX 7444 KachelY + 1 3406 -0.28685441 1.25436654 -16.435547 71.869909
    Unten rechts KachelX + 1 7445 KachelY + 1 3406 -0.28647091 1.25436654 -16.413574 71.869909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25448585-1.25436654) × R
    0.000119310000000095 × 6371000     		dl = 760.124010000603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25448585-1.25436654) × R
    0.000119310000000095 × 6371000     		dr = 760.124010000603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28685441--0.28647091) × cos(1.25448585) × R
    0.000383499999999981 × 0.311062201430674 × 6371000     		do = 760.011588918198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28685441--0.28647091) × cos(1.25436654) × R
    0.000383499999999981 × 0.311175590194283 × 6371000     		du = 760.288629246466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25448585)-sin(1.25436654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311062201430674-0.311175590194283)×R²
    abs(-0.28647091--0.28685441)×0.000113388763609112×R²
    0.000383499999999981×0.000113388763609112×6371000²
    0.000383499999999981×0.000113388763609112×40589641000000     		ar = 577808.349803558m²