Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7444 / 10635
↖ ↑ ↗
← S 47.204642°
W 16.435547°		 ← 1 659.92 m → S 47.204642°
W 16.413574°		 →
↑
1 659.65 m
↓
↑
1 659.65 m
↓
S 47.219568°
W 16.435547°		 ← 1 659.45 m →
2 754 490 m²		 S 47.219568°
W 16.413574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454376220703125 y=0.649139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454376220703125 × 214)
    floor (0.454376220703125 × 16384)
    floor (7444.5)     		tx = 7444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649139404296875 × 214)
    floor (0.649139404296875 × 16384)
    floor (10635.5)     		ty = 10635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7444 / 10635 ti = "14/7444/10635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7444/10635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7444 ÷ 214
    7444 ÷ 16384     		x = 0.454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10635 ÷ 214
    10635 ÷ 16384     		y = 0.64910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2982177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.936878766174377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28685441} λ = -0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936878766174377))-π/2
    2×atan(0.391848980920512)-π/2
    2×0.373459947451312-π/2
    0.746919894902625-1.57079632675     		φ = -0.82387643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82387643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.204642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7444 KachelY 10635 -0.28685441 -0.82387643 -16.435547 -47.204642
    Oben rechts KachelX + 1 7445 KachelY 10635 -0.28647091 -0.82387643 -16.413574 -47.204642
    Unten links KachelX 7444 KachelY + 1 10636 -0.28685441 -0.82413693 -16.435547 -47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 7445 KachelY + 1 10636 -0.28647091 -0.82413693 -16.413574 -47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82387643--0.82413693) × R
    0.000260499999999997 × 6371000     		dl = 1659.64549999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82387643--0.82413693) × R
    0.000260499999999997 × 6371000     		dr = 1659.64549999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28685441--0.28647091) × cos(-0.82387643) × R
    0.000383499999999981 × 0.679381852993541 × 6371000     		do = 1659.9190747092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28685441--0.28647091) × cos(-0.82413693) × R
    0.000383499999999981 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 1659.45198333868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82387643)-sin(-0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679381852993541-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.28647091--0.28685441)×0.000191174019057216×R²
    0.000383499999999981×0.000191174019057216×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191174019057216×40589641000000     		ar = 2754489.63523692m²